AVL树

定义：一棵空二叉树是AVL树，如果T是非空二叉树，TL和TR分别是其左子树和右子树，

则当且仅当TL和TR都为AVL树且|HL-HR|<=1时，T是AVL树。

由定义知道一个AVL树的任何节点的左右子树的高度之差不超过1，这是AVL树最基本的特征。

AVL树的高度：（固定节点数计算最大高度）

记N_h为一棵高度为h的AVL树具有的最小节点数，则最坏情况是它的左右子树的高度不等，

一个是N_(h-1)和N_(h-2)，从而得到

N_h=N_(h-1)+N_(h-2)+1            N_0=0,N_1=1

这类似于Fibonacci数列：F_n=F_(n-1)+F_(n-2),(F_0=0,F_1=1)

而F_h=（1+sqrt(5)）^h/sqrt(5)

从而高度h和节点数是对数关系，因此 h=O(log(N_h))

由此容易知道在不考虑恢复AVL树的前提下，它的插入，删除和查找的工作量不超过O(n)。

AVL树节点的平衡因子：

AVL树节点的平衡因子定义为其左子树的高度减去右子树的高度，我们可以在插入和删除操作的时候更新平衡因子。

一棵AVL树的各节点平衡因子为1，-1, 0

树的旋转：

在介绍插入和删除操作之前首先介绍树的旋转操作

树的旋转操作是为了改变树的结构，使其达到平衡。旋转总共分为左旋和右旋两类

如图为树的以B为轴左旋示意图，从右到左是以A为轴右旋，树的旋转操作要特别注意儿子节点是否为空

顶层节点是否为根节点。

AVL树的插入操作：

插入操作只会改变被插入节点到根节点路径上的节点的平衡因子。

因为在插入之前树是AVL树，因此各个节点的平衡因子是1，-1或0

一、如果路径上节点平衡因子是0，则插入后不会打破这个节点的平衡性。

二、如果路径上的节点的平衡因子是1或-1，则可能会打破平衡性，在这种情况下如果此节点的新的平衡

因子是0，则刚好将其补的更加平衡，平衡性未打破；否则平衡因子变成2或-2，则需要进行调整。

三、我们在对树进行调整后恢复子树相对于插入前的高度，不改变子子树的平衡因子。

由以上三点：只需向根部查找从插入点开始第一个平衡因子不为0的节点，令该节点为A

更新步骤：

(1). 若Ａ不存在，说明插入节点不影响平衡性，则自下而上更新平衡因子直到根部即可。

(2). 若bf(A)=1且插入节点在A地右子树中，或者bf(A)=-1且插入节点在A的左子树中，则自下而上更新

平衡因子直到A。（注：A的平衡因子变为0）

(3). 若A的平衡性被打破，首先依然自下而上更新平衡因子，在按照下面进行分类：LL, LR, RR, RL

原bf(A)=1, 新的bf(A)=2, LL, LR,

原bf(A)=-1, 新的bf(A)=-2, RR, RL

如图为RR的情况，LL情况类似，旋转后只需再次改变两个节点的平衡因子

如下图为RL的情况，LR类似，旋转后需要再次改变三个节点的平衡因子

至此，插入操作已经完成，可见最多多做两次旋转操作调整树的结构使之平衡。

AVL树的删除操作：

删除操作和插入操作一样，也是先直接删除二叉树节点，然后在更新平衡因子，

调整AVL树使之平衡。

这里所指的删除的节点是实际被删除的节点，删除操作不影响其子树的平衡因子。

首先删除节点，然后沿着该节点的父节点向根部更新平衡因子，考虑更新后的节点A

新的平衡因子，分为下面三种情况：

(1)、如果bf(A)=0，则高度减少了1，从而继续向上找非平衡点。

(2)、如果bf(A)=1或者-1，则之前必为0，从而不影响平衡性，结束。

(3)、如果bf(A)=2(原来为1)或者-2(原来为-1)，则A点非平衡。调整。

以bf(A)=-2为例，称A为L不平衡

如果A的右节点的平衡因子是0，则进行一次左旋转，如图：

由于子树的高度和删除前一样，因此树已经平衡。

如果A的右节点的平衡因子是-1，则称为L-1不平衡，也要进行一次做旋转。

树的高度减少1，这使得上面的祖先节点可能不平衡，一次还要沿着路径在向上

寻找新的不平衡点，再次更新平衡因子，调整等。

如果A的右节点的平衡因子是1，则称为L1不平衡，要进行两次旋转。

此时要根据BL的情况决定A和B的新的平衡因子。

由于树的高度减少了1，因此还要沿着路径继续向上寻找新的不平衡点。

至此树节点的删除操作完成。

总结：

归纳起来，AVL树的查找操作等同于一般二叉树，插入和删除操作除了一般的二叉树插入和删除

还要更新树的平衡因子，当平衡因子被打破时要通过旋转恢复。而且在调整平衡时尽量影响局部范围。