模式匹配的KMP算法详解

模式匹配的KMP算法详解

这种由D.E.Knuth,J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现的改进的模式匹配算法简称为KMP算法。大概学过信息学的都知道，是个比较难理解的算法，今天特把它搞个彻彻底底明明白白。

注意到这是一个改进的算法，所以有必要把原来的模式匹配算法拿出来，其实理解的关键就在这里，一般的匹配算法：

int Index(String S,String T,int pos)//参考《数据结构》中的程序
{
  i=pos;j=1;//这里的串的第1个元素下标是1
  while(i<=S.Length && j<=T.Length)
  {
    if(S[i]==T[j]){++i;++j;}
    else{i=i-j+2;j=1;}//**************(1)
  }
  if(j>T.Length) return i-T.Length;//匹配成功
  else return 0;
}

匹配的过程非常清晰，关键是当‘失配’的时候程序是如何处理的？回溯，没错，注意到(1)句，为什么要回溯，看下面的例子：

S:aaaaabababcaaa  T:ababc

aaaaabababcaaa
    ababc.(.表示前一个已经失配)
回溯的结果就是
aaaaabababcaaa
     a.(babc)
如果不回溯就是
aaaaabababcaaa
        aba.bc
这样就漏了一个可能匹配成功的情况
aaaaabababcaaa
      ababc

为什么会发生这样的情况？这是由T串本身的性质决定的，是因为T串本身有前后'部分匹配'的性质。如果T为abcdef这样的，大没有回溯的必要。

改进的地方也就是这里，我们从T串本身出发，事先就找准了T自身前后部分匹配的位置，那就可以改进算法。

如果不用回溯，那T串下一个位置从哪里开始呢？

还是上面那个例子，T为ababc，如果c失配，那就可以往前移到aba最后一个a的位置，像这样：
...ababd...
   ababc
   ->ababc

这样i不用回溯，j跳到前2个位置，继续匹配的过程，这就是KMP算法所在。这个当T[j]失配后，j应该往前跳的值就是j的next值，它是由T串本身固有决定的，与S串无关。

《数据结构》上给了next值的定义：
          0   如果j=1
next[j]={Max{k|1<k<j且'p1...pk-1'='pj-k+1...pj-1'
          1   其它情况

我当初看到这个头就晕了，其实它就是描述的我前面表述的情况，关于next[1]=0是规定的，这样规定可以使程序简单一些，如果非要定为其它的值只要不和后面的值冲突也是可以的；而那个Max是什么意思，举个例子：

T:aaab

...aaaab...
   aaab
  ->aaab
   ->aaab
    ->aaab

像这样的T，前面自身部分匹配的部分不止两个，那应该往前跳到第几个呢？最近的一个，也就是说尽可能的向右滑移最短的长度。

OK，了解到这里，就看清了KMP的大部分内容，然后关键的问题是如何求next值？先不管它，先看如何用它来进行匹配操作，也就是说先假设已经有了next值。

将最前面的程序改写成：

int Index_KMP(String S,String T,int pos)
{
  i=pos;j=1;//这里的串的第1个元素下标是1
  while(i<=S.Length && j<=T.Length)
  {
    if(j==0 || S[i]==T[j]){++i;++j;} //注意到这里的j==0,和++j的作用就知道为什么规定next[1]=0的好处了
    else j=next[j];//i不变（不回溯）,j跳动
  }
  if(j>T.Length) return i-T.Length;//匹配成功
  else return 0;
}

OK,是不是非常简单？还有更简单的，求next值，这也是整个算法成功的关键，从next值的定义来求太恐怖了，怎么求？前面说过了，next值表达的就是T串的自身部分匹配的性质，那么，我只要将T串和T串自身来一次匹配就可以求出来了，这里的匹配过程不是从头一个一个匹配，而是从T[1]和T[2]开始匹配，给出算法如下：

void get_next(String T,int &next[])
{
  i=1;j=0;next[1]=0;
  while(i<=T.Length)
  {
    if(j==0 || T[i]==T[j]){++i;++j; next[i]=j;/**********(2)*/}
    else j=next[j];
  }
}

看这个函数是不是非常像KMP匹配的函数，没错，它就是这么干的！注意到(2)语句逻辑覆盖的时候是T[i]==T[j]以及i前面的、j前面的都匹配的情况下，于是先自增，然后记下来next[i]=j，这样每当i有自增就会求得一个next[i]，而j一定会小于等于i，于是对于已经求出来的next，可以继续求后面的next，而next[1]=0是已知，所以整个就这样递推的求出来了，方法非常巧妙。

这样的改进已经是很不错了，但算法还可以改进，注意到下面的匹配情况：

...aaac...
   aaaa.
T串中的'a'和S串中的'c'失配，而'a'的next值指的还是'a'，那同样的比较还是会失配，而这样的比较是多余的，如果我事先知道，当T[i]==T[j]，那next[i]就设为next[j]，在求next值的时候就已经比较了，这样就可以去掉这样的多余的比较。于是稍加改进得到：

void get_nextval(String T,int &next[])
{
  i=1;j=0;next[1]=0;
  while(i<=T.Length)
  {
    if(j==0 || T[i]==T[j])
    { ++i;++j;
      if(T[i]!=T[j]) next[i]=j;
      else next[i]=next[j];//消去多余的可能的比较,next再向前跳
    }
    else j=next[j];
  }
}

匹配算法不变。

到此就完全弄清楚了，以前老觉得KMP算法好神秘，真不是人想出来的，其实不然，它只不过是对原有的算法进行了改进。可见基础的经典的东西还是很重要，你有本事‘废’了经典，就创造了进步。