剑指offer-数组中数字出现的次数

数组中数字出现的次数(剑指offer-56)

题目描述如下：

思路分析：

 实际上，抛开题目复杂度的要求，此题有多种解法。但由于对复杂度有要求，因此本题的解法就很受限制了。官方题解给了利用按位异或、相与操作来解此题。但，觉得官方题解讲解得实在难以看懂。遂另作此篇文章以图能说明清楚官方题解的方法。

１.题解用到的技巧

 这道题解主要是利用了以下技巧：

• $a\oplus a=0,a是一个整数$；
• $0\oplus a=a，a是一个整数$
• 如果a和b是不同的整数，那么$a\oplus b$的二进制至少有一位为1。
• $异或运算的交换律：(a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c)$

 先来看此问题另一个相似的问题：假如一个整型数组 nums 里除一个数字之外，其他数字都出现了两次。要怎样找到这个只出现一次的数字？
 解法：我们可以通过让所有数字进行异或操作，最后的异或结果就是这个只出现一位的数字。例如，nums={1,1,3,4,3,4,5}。那么有$5=1\oplus 1\oplus 1\oplus 3\oplus 4\oplus 3\oplus 4\oplus 5=1\oplus 1\oplus 3\oplus 3\oplus 4\oplus 4\oplus 5=0\oplus 5=5$。
 参照上面这个思路，如果我们把原数组“分成”两组（假设a和b是原数组中只出现一次的两个数字），且这两组满足以下条件：
  1. 第一组：数字a和原数组中部分出现两次的数字在一组；
  2. 第二组：数字b和原数组中除第一组外出现两次的数字在一组；
 这样我们通过分别对两组的所有数字做异或运算，就可分别得到a和b。

２.思想：把原数组分为两组

 问题是如何把原数组“分为”两组？利用a和b二进制表示法中不同的那一位。
 且看一个例子：nums = {2,3,2,3,1,6}，1和6的二进制分别是 0001b 和 0110b ，$1\oplus 6=7=0111b$。现在 a 和 b 不同的二进制位有三位，我们只取一位即可，假设取最低位的1，记为m=1。
 然后，要怎么利用 a 和 b 不同的这一个二进制位把原数组分组呢？把原数组中的每个数字与 m 做相与操作。如果 $nums[i]\&m=1$，则划分为一组；否则，划分为另一组：

• $2\&m=2\&1=0010\&0001=0001=0$
• $3\&m=3\&1=0011\&0001=0001=1$
• $2\&m=2\&1=0010\&0001=0001=0$
• $3\&m=3\&1=0011\&0001=0001=1$
• $1\&m=1\&1=0001\&0001=0001=1$
• $6\&m=6\&1=0110\&0001=0001=0$

 所以最后是两组：{2,2,6} 和 {3,3,1}。分组的问题解决了，问题是这个a和b二进制表示法中不同的那一位怎么求？就用如果a和b是不同的整数，那么$a\oplus b$的二进制至少有一位为 1这个结论，我们就从$a\oplus b$取出它们二进制表示法中不同的那一位。

３.算法流程

 综上，最终算法的流程如下：
 1. 求出原数组所有数字的异或值，得出$a\oplus b$。
 2. 从 $a\oplus b$ 得出a和b二进制表示法中不同的一位（可能有多个二进制位不同，取一个即可）。
 3. 把原数组分为两组，分组对两组的所有数字求异或，得出最终答案。
 最后就是写代码了，语言版本较多，我就只列出C++版本的了。

４.代码

class Solution {
public:
    vector<int> singleNumbers(vector<int>& nums) {
        int a = 0;
        int b = 0;
        int aXorb = 0;
        int diffBit = 1;
        for ( auto num : nums)
            aXorb ^= num;
        while ( (aXorb & diffBit) == 0  )
            diffBit <<= 1;
        for ( auto num : nums ) {
            if ( diffBit & num )
                a ^= num;
            else
                b ^= num;
        }

        return vector<int> {a, b};
    }
};

 如有错误之处，请各位码友批评指正。创作不易，引用请注明出处，顺便可以再点一个赞，感激不尽。