19、计数器机器的见证运行及相关逻辑研究

计数器机器的见证运行及相关逻辑研究

1. 相关逻辑基础

1.1 线性时态逻辑的扩展与解释

在逻辑研究中，对于公式 $\psi(X_{i_1}x_{j_1}, \ldots, X_{i_k}x_{j_k})$ ，它可被解释为公式 $\psi(z_1, \ldots, z_k)$ ，其中每个变量 $z_a$ 在第 $i_a$ 个下一配置中取 $x_{j_a}$ 的值。例如，$x_1 = Xx_2$ 表明 $x_2$ 的下一个值等于 $x_1$ 的当前值；$G(x_1 = Xx_1)$ 表示计数器 1 在模型中具有恒定值。

1.2 冻结运算符

为了验证 Presburger 计数器系统的属性，引入了冻结运算符。公式 $\downarrow_{j}^{r} \varphi$ 被解释为 $\exists y_r (y_r = x_j \land \varphi)$ ，用于存储计数器值；而 $\uparrow_{j}^{r}$ 被解释为 $y_r = x_j$ ，用于执行相等性测试。例如，公式 $G(\downarrow_{1}^{1} XG\neg \uparrow_{1}^{1})$ 表明第一个计数器在不同位置具有不同的值。像程序变量 $x$ 永不低于其初始值这一陈述，可通过公式 $\exists y (x = y) \land G(x \geq y)$ 表达，其中使用了一种冻结运算符的形式。

2. 有限窗口逻辑 CLTL

2.1 CLTL 逻辑的定义

CLTL 是 Presburger LTL 的严格片段，一阶量化在时态公式层面仅限于 $\psi(X_{i_1}x_{j_1}, \ldots