考研数学——一元函数积分学

一元函数积分学

常见积分

$\int e^{ax}\sin bxdx=\frac{\left|\begin{array}{cc}(e^{ax}{)}^{\prime }& (\sin bx{)}^{\prime }\\ e^{ax}& \sin bx\end{array}\right|}{a^2+b^2}+C$

分布积分表格法

可积条件

可积的必要条件：被积函数一定有界

若函数$f$在$[a,b]$上可积，则$f$在$[a,b]$上必定有界。

可积的充要条件：达布上下和相等

设 T = { Δ i ∣ i = 1 , 2 , ⋯   , n } T = \{ \Delta_i | i = 1,2,\cdots,n \} T={Δi​∣i=1,2,⋯,n}为对$[a,b]$的任一分割. 由$f$在$[a,b]$上有界, 则它在每个${\Delta }_i$上存在上、下确界：
$M_i={\sup }_{x\in {\Delta }_i}f(x),m_i={\inf }_{x\in {\Delta }_i}f(x),i=1,2,\cdots ,n.$
作和

$S(T)={\sum }_{i=1}^n{M}_i\Delta x_i,s(T)={\sum }_{i=1}^n{m}_i\Delta x_i,$
分别称为$f$关于分割$T$的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）. 任给${\xi }_i\in {\Delta }_i,i=1,2,\cdots ,n$，显然有
$s(T)⩽{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i⩽S(T).$
与积分和相比较，达布和只与分割$T$有关，而与点集 { ξ i } \{ \xi_i \} {ξi​}无关. 由不等式$(1)$，就能通过讨论上和与下和当$\Vert T\Vert \to 0$时的极限来揭示$f$在$[a,b]$上是否可积. 所以可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的.

定理9.3（可积准则） 函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是：任给$\epsilon >0$，总存在相应的一个分割$T$，使得
$S(T)-s(T)<\epsilon .$

本定理的证明依赖对上和与下和性质的详尽讨论

设${\omega }_i=M_i-m_i$，称为$f$在${\Delta }_i$上的振幅，有必要时也记为${\omega }_i^f$。由于
$S(T)-s(T)={\sum }_{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i\text{（或记为}{\sum }_T{\omega }_i\Delta x_i\text{）},$
因此可积准则又可改述如下.

定理$9.3^{\prime }$ 函数$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是：任给$\epsilon >0$，总存在相应的某一分割$T$，使得
${\sum }_T{\omega }_i\Delta x_i<\epsilon .$

上面俩不等式的几何意义是：若$f$在$[a,b]$上可积，则图9-7中包围曲线$y=f(x)$的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分地细；反之亦然.

可积的充分条件：连续、单调、或者只有有限个间断点

1. 若$f$为$[a,b]$上的连续函数，则$f$在$[a,b]$上可积.

2. 若$f$是区间$[a,b]$上只有有限个间断点的有界函数，则$f$在$[a,b]$上可积.

3. 若$f$是$[a,b]$上的单调函数，则$f$在$[a,b]$上可积.

已知$f(x)$在$[0,+\infty )$内可导，且$\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=0$，能否推出$f(x)$在$[0,+\infty )$内有界？

不能，反例如下：

$$f(x)=\ln (x+1).$$

那么：

$f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 内处处可导；且$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}\Rightarrow {\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=0;$

但${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty ,$

所以 $f(x)$ 不有界。

这恰好说明：

虽然导数趋于 0，但函数值仍然可以无限增长。

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“导数趋于 0” 只说明 增长速率越来越小，但并不排除函数一直持续增长，只是越来越慢，如 $\ln x$、$\sqrt{x}$、$\ln \ln x$ 等。

因此：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=0\nRightarrow f(x)\text{ 有界}.$$

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求旋转体的体积

这张图其实就是用面积元旋转 → 体积元的思想，把“绕任意一条直线旋转”的体积公式统一写出来。我们一块儿把它拆开讲一遍👇

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1️⃣ 基本想法：面积元转一圈变成一个小“圆环体”

在平面区域 $D$ 上取一个很小的面积元$d\sigma$，它所在的点是 $(x,y)$。

若把面积元$d\sigma$绕一条直线 $L:ax+by+c=0$ 旋转一圈，这个小面积元会扫出一个“薄薄的圆环体”（类似柱壳）：

• 半径 = 该点到直线 $L$ 的距离 $r(x,y)$
• 横截面积 = $d\sigma$
• 圆周长 = $2\pi r(x,y)$

所以这个小体积元是

$$dV=\text{周长}\times \text{横截面积}=2\pi r(x,y)d\sigma$$

把整个区域 $D$ 上所有的小面积元加起来（积分）就得到总体积：

$$\boxed{V=\iiint dV=2\pi {\iint }_{D}r(x,y)d\sigma }$$

这就是计算旋转体体积的万能公式。✅

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2️⃣ 距离 $r(x,y)$ 的表达式

点 $(x,y)$ 到直线 $ax+by+c=0$ 的距离公式是

$$r(x,y)=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

这是解析几何的标准公式——所以直接把它代入上面的体积公式就行了

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3️⃣ 专门对着 x 轴、y 轴的两个常用特例

👉 绕 x 轴旋转

直线是 $y=0$，可以看成 $0\cdot x+1\cdot y+0=0$，
所以 $r(x,y)=|y|$。若区域在上半平面（$y\ge 0$），就直接写成 $r=y$。

于是

$$V_x=2\pi {\iint }_{D}yd\sigma$$

若区域是

$$D=\{(x,y):a\le x\le b,0\le y\le f(x)\},$$

把二重积分写开：

$$\begin{array}{rl}{V}_x& =2\pi {\int }_a^b{\int }_0^{f(x)}ydydx\\ & =2\pi {\int }_a^b{\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^{f(x)}dx\\ & =\pi {\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx\end{array}$$

这就是你熟悉的圆盘/垫片法公式

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👉 绕 y 轴旋转

直线是 $x=0$，可以看成 $1\cdot x+0\cdot y+0=0$，
所以 $r(x,y)=|x|$。对在右半平面 $x\ge 0$ 的区域，直接写 $r=x$：

$$V_y=2\pi {\iint }_{D}xd\sigma$$

同样把区域写成

$$D=\{(x,y):a\le x\le b,0\le y\le f(x)\},$$

$$\begin{array}{rl}{V}_y& =2\pi {\int }_a^b{\int }_0^{f(x)}xdydx\\ & =2\pi {\int }_a^{b}x[f(x)-0]dx\\ & =2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx\end{array}$$

这就是熟悉的柱壳法公式。✅

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4️⃣ 总结一句话

• 通用公式：

  $$\boxed{V=2\pi {\iint }_{D}r(x,y)d\sigma ,r(x,y)=\text{点到旋转轴的距离}}$$

• 绕 x 轴：$V=\pi {\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx$

• 绕 y 轴：$V=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$

反常积分判敛

如果在一个积分的积分区间内，被积函数在某个点处的取值是无穷大，请问这个积分可以是收敛的吗？

瑕点在一端的收敛反常积分

当然可以，比如

$${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx$$

这个积分的被积函数在 $x=0$ 时：

$$\frac{1}{\sqrt{x}}\to +\infty ,$$

但我们计算：

$${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx={\left[2\sqrt{x}\right]}_0^1=2<\infty .$$

虽然在 $x=0$ 发散，积分仍然收敛。

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瑕点在中间的收敛反常积分

下面再举一个 瑕点在积分区间中间, 但积分仍然 收敛 的例子

$${\int }_0^2\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx$$

注意：在 $x=1$ 处：

$$\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}\to +\infty$$

也就是说 被积函数在区间中点 $x=1$ 发散。

但这个积分其实是 收敛 的。证明过程如下

$${\int }_0^2\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\left({\int }_0^{1-\epsilon }\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx+{\int }_{1+\epsilon }^2\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx\right)$$

分别计算两部分：

左边（靠近 1-）：

$${\int }_0^{1-\epsilon }\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx={\left[-2\sqrt{1-x}\right]}_0^{1-\epsilon }=2\left(1-\sqrt{\epsilon }\right)$$

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右边（靠近 1+）：

$${\int }_{1+\epsilon }^2\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx={\left[2\sqrt{x-1}\right]}_{1+\epsilon }^2=2\left(1-\sqrt{\epsilon }\right)$$

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相加：

$${\int }_0^2\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }4(1-\sqrt{\epsilon })=4.$$

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可以看到，在上面这个例子中，虽然被积函数在积分区间中间 $x=1$ 处取值是无穷大，但整体的积分依然可以收敛

$$\boxed{{\int }_0^2\frac{1}{\sqrt{|x-1|}}dx=4\text{（收敛）}}$$

这是一个标准的“中间有瑕点的收敛反常积分”。

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瑕点在两端的收敛反常积分

下面再举一个瑕点在两端的收敛反常积分的例子

$${\int }_0^{\pi }\frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$$

因为 $\sin x=0$ 在端点 $x=0,\pi$，所以这是端点有瑕点的反常积分。只需考察端点附近的行为即可。

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1. 在 $x\to 0^{+}$ 附近

$$\sin x\sim x(x\to 0)$$

所以

$$\frac{1}{\sqrt{\sin x}}\sim \frac{1}{\sqrt{x}}$$

而

$${\int }_0^{\delta }\frac{dx}{\sqrt{x}}$$

是收敛的（${\int }_0^{\delta }{x}^{-1/2}dx=2\sqrt{\delta }<\infty$）。

因此在 0 附近可积。

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2. 在 $x\to {\pi }^{-}$ 附近

令 $t=\pi -x$，则 $t\to 0^{+}$，并且

$$\sin x=\sin (\pi -t)=\sin t\sim t$$

于是

$$\frac{1}{\sqrt{\sin x}}\sim \frac{1}{\sqrt{t}}$$

同理

$${\int }_0^{\delta }\frac{dt}{\sqrt{t}}$$

收敛，所以在 $\pi$ 附近也可积。

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两端都可积，所以原反常积分 收敛。

$$\boxed{{\int }_0^{\pi }\frac{dx}{\sqrt{\sin x}}\text{ 收敛}}$$

反常积分的概念

通过上面三个例子我们可以看出，如果一个积分的被积函数在积分区间内部的某个点处值不存在（趋近于无穷），其整体的积分当然也可能不存在，但也存在着积分收敛的情况，即局部的函数值无穷大可能并不会影响整体积分的值。像这样的局部无穷大点，或者取值无意义的点，我们通常把它称之为积分的瑕点。而像这样有瑕点，或者积分上下限至少有一端是正无穷的积分，我们通常把它们叫做反常积分

反常积分判敛的方法有哪些？

反常积分（广义积分）判敛的方法主要有 5 大类，每一类都有固定套路，下面给你系统总结。

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⭐ 1. 比较判别法（最常用）

适用于：被积函数在“端点处”难处理，但形状与简单函数相似。

（1）直接比较判别法（对应正项级数的比较判别法）

若在积分区间上$0\le f(x)\le g(x)$，且已知$\int g(x)dx\text{ 收敛},$

则$\int f(x)dx\text{ 收敛}.$

反过来：若 $f(x)\ge g(x)\ge 0$ 且 $\int g$ 发散，则 $\int f$ 发散。

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（2）极限比较判别法（对应正项级数比较判别法的极限形式）

若${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L$，且 $0<L<\infty$，则$\int f\text{ 与 }\int g\text{ 同敛散}.$

⭐ 2. 级数判敛与反常积分判敛相互转换

用于级数，也可反过来用级数判断积分：

若 $f(x)$ 单调非负，则

$$\sum f(n)\text{与}\int f(x)dx$$

同敛散。

例：

$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x\ln x}\text{发散}$$

因为对数积分发散，对应的级数 $\sum 1/(n\ln n)$ 也发散。

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⭐ 3. 通过换元法把反常积分变成标准型

适用于指数、对数、三角等复杂结构。
例如：

• $t=e^{-x}$
• $x=\tan t$
• $x=\frac{1}{u}$

例：

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx$$

用 $x^2=t$ 或 $x=\tan \theta$ 等标准操作。

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⭐ 4. 绝对收敛推条件收敛

若$\int |f(x)|dx\text{ 收敛}$，则$\int f(x)dx\text{ 收敛}.$

反之不一定，
例如反常积分${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$不绝对收敛，但条件收敛。

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⭐ 5. 阿贝尔、狄利克雷判别法（也叫振荡积分判敛法）

之所以叫振荡积分判敛法，是因为它们常用与判定带有正弦/余弦等振荡函数的反常积分敛散性

Dirichlet 判别法：

若：

1. $f(x)$ 单调趋 0；
2. ${\int }_0^{A}g(x)dx$ 有界；

则${\int }_0^{\infty }f(x)g(x)dx$收敛

比如：${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$收敛，就是用狄利克雷判别法证明的

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比较判别法中常用的几个典型标尺：

p型积分（对应无穷级数里面的P级数）

p积分的敛散性结论：
$${\int }_1^{\infty }{x}^{-p}dx$$

• $p>1$ 收敛
• $p\le 1$ 发散

另有：

$${\int }_0^1{x}^{-p}dx$$

• $p<1$ 收敛
• $p\ge 1$ 发散

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带有$lnx$的反常积分

对：

$${\int }_0^{\infty }{x}^p{e}^{-ax}dx$$

总收敛。

对：

$${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x(\ln x{)}^p}dx$$

在 $p>1$ 收敛，其余发散。

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${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$

${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$是一个收敛的反常积分（可以用狄利克雷判别法证明）

典例

请问${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\tan xdx$问能不能用 p 型积分 来判敛？

请问反常积分${\int }_0^1\ln xdx$能不能用 p 型积分来判敛？

当然可以，根据就是我们前面学过的一个重要极限：

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^p|\ln x|=0(\forall p>0)$$

也就是说，$|\ln x|$ 比任何 $x^{-p}$（$p>0$）增长都慢。
所以对任意 $p>0$，都存在一个 $\delta >0$，使得当 $0<x<\delta$ 时，

$$|\ln x|\le x^{-p}.$$

取一个 $0<p<1$，例如 $p=\frac{1}{2}$，那么

$$|\ln x|\le \frac{1}{\sqrt{x}},0<x<\delta .$$

而${\int }_0^{\delta }\frac{dx}{\sqrt{x}}$ 收敛，根据由比较判别法（大收小必收），我们有：

$${\int }_0^{\delta }|\ln x|dx\text{收敛}$$

绝对收敛可以推条件收敛，所以我们得出

$${\int }_0^1\ln xdx$$

在 0 附近也收敛（且绝对收敛）

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请问${\int }_0^1\frac{1}{\ln x}dx$能不能用 p 型积分来判敛？

可以，而且很好用 👍

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首先讨论瑕点处被积函数极限是否存在

• 在 $x=0^{+}$：$\ln x\to -\infty$，所以 $\frac{1}{\ln x}\to 0$，这里没有发散问题；
• 真正的瑕点在 $x=1$，因为 $\ln 1=0$。

所以只需考察 $x\to 1$ 附近。

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讨论 $x\to 1$ 附近的部分积分是否收敛

微分方程

一阶线性微分方程

• 标准形式：必须整理为 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是关于 $x$ 的已知函数（常数可看作特殊的函数）。

• 通解公式：直接代入公式即可，无需重复推导：
  $y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)$
  其中 $e^{\int P(x)dx}$ 称为“积分因子”，作用是将方程转化为可直接积分的形式。

• 推导过程：

伯努利方程

伯努利方程的标准形式
一阶伯努利方程的严格定义需满足以下形式：
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$

伯努利方程的求解关键是通过变量代换消去非线性的$y^n$项，将其转化为一阶线性方程。具体步骤分为3步，逻辑清晰且具有通用性：

步骤1：消去方程右边的$y^n$项
方程两边同时除以$y^n$（需注意$y\ne 0$，后续需验证y=0是否为解），将方程改写为：
$$y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$$

步骤2：引入变量代换，转化为线性方程
观察上式，$y^{-n}\frac{dy}{dx}$ 可表示为某一新变量导数的“常数倍”。定义新变量：
$$z=y^{1-n}$$

对z关于x求导（利用复合函数求导法则）：
$$\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$$

将 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1-n}{y}^n\cdot \frac{dz}{dx}$ 代入步骤1的方程，化简后得到：
$$\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+P(x)z=Q(x)$$

两边同乘$(1-n)$，最终转化为一阶线性非齐次微分方程的标准形式：
$$\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$$

步骤3：求解线性方程并回代
此时方程已转化为关于$z(x)$的一阶线性方程，记为：
$$\frac{dz}{dx}+P^{\ast }(x)z=Q^{\ast }(x)$$
其中 $P^{\ast }(x)=(1-n)P(x)$，$Q^{\ast }(x)=(1-n)Q(x)$。

这类线性方程的解法是“常数变易法”，其通解公式为：
$$z=e^{-\int P^{\ast }(x)dx}\left[\int Q^{\ast }(x)e^{\int P^{\ast }(x)dx}dx+C\right]$$

将$z=y^{1-n}$回代到上述通解中，即可得到原伯努利方程关于$y(x)$的通解。

最后需补充：若$y=0$满足原方程（代入后左右两边均为0），则$y=0$也是方程的一个解，需根据初始条件判断是否纳入最终结果。

欧拉方程

1. 标准形式（二阶）
对于自变量 $x>0$，方程形式为：
$$x^2{y}^{\prime \prime }+px{y}^{\prime }+qy=0$$
其中：

• $y=y(x)$ 是待求函数，$y^{\prime }$、$y^{\prime \prime }$ 分别是一阶、二阶导数；
• $p$、$q$ 是常数（与 $x$ 无关）。

2. 求解方法：变量代换
令 $t=\ln x$（即 $x=e^t$），将自变量从 $x$ 转化为 $t$，利用复合函数求导法则：

• $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\cdot \frac{dy}{dt}$；
• KaTeX parse error: Expected group as argument to '\left' at end of input: …c{1}{x^2} \left\frac{d^2y}{dt2} - \frac{dy}{dt} \right)$。

代入原方程后，可转化为常系数线性微分方程：
$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+(p-1)\frac{dy}{dt}+qy=0$$
再通过求解特征方程（如 $r^2+(p-1)r+q=0$）得到通解，最后代回 $t=\ln x$ 即可。