考研数学笔记（高等数学篇）

高等数学核心概念解析
原创 已于 2025-10-08 21:17:18 修改 · 469 阅读 · 4 ·
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于 2025-10-03 07:56:13 首次发布

文章目录

函数的凹凸性

谈论凹凸性是不是必须要求函数可导？

不是，下面是华师数分书上关于凹凸性的定义
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在下图中，f(x)并不是处处可导的，但是我们在函数中任意取两点，拉根线，发现函数始终在这根线下方或在这根线上，这就说明函数是一个凸函数
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虽然凹凸性不能保证f(x)在对应区间内可导，但是它却能保证f(x)在区间内任意一点的左右导数都存在（只是不一定相等）

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凹凸性的充要条件

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凹凸性的等价论断

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定义域内二阶可导的函数是凸函数的充要条件

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Jensen不等式

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极值点与拐点

一个函数有没有可能存在这样一个点，这个点既是函数的极值点，又是函数的拐点？

对于n阶连续可导函数而言，是绝对不可能的
如果函数在这一点处不可导，那是有可能的，比如分段函数
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极值的第三充分条件

对于n阶可导的函数f(x)，如果f(x)在某点的前n-1阶导都为0，第n阶导不为0，则若n是偶数，则该点就是f(x)的极值点，若n为奇数，则该点就是f(x)的拐点
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假如函数在某一点处不可导，则该点有没有可能是函数的拐点？有没有可能是函数的极值点？

都有可能！因为函数在该点可导并不是在该点取得极值的必要条件，可导也不是拐点的必要条件

极值点的定义：只要函数在该点的某个邻域内的函数值都没有在该点的函数值大，该点就是函数的一个极值点

拐点的定义：只要函数在该点的左右邻域内凹凸性相反（二阶导符号相反），该点就是拐点，不需要函数在该点可导，比如
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下面是数分教材中给出的拐点定义
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变上限积分函数是否一定可导?

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变上限积分函数的可导性由被积函数的连续性决定：

  • 若被积函数连续，则变上限积分函数可导；
  • 若被积函数不连续（仅可积），则变上限积分函数仅连续，在被积函数的间断点处不可导。

无穷积分判敛法

类型核心判敛法适用场景关键结论
非负函数比较判别法（极限形式）被积函数非负，可找渐近等价函数与p-积分同敛散；衰减速度足够快（p>1)则收敛
非负函数比值/根值判别法含指数、阶乘、幂指函数比值/根值 <1 收敛，>1 发散，=1 失效
任意函数绝对收敛判别法可转化为非负函数积分绝对积分收敛 → 原积分收敛
任意函数狄利克雷/阿贝尔判别法含震荡项(sin x/cos x)）积分有界+函数趋0（狄利克雷）；积分收敛+函数有界（阿贝尔）→ 原积分收敛

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任意一个收敛的无穷积分，是否总能找到一个p级数与之匹配？

并不是，举个反例
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求解微分方程

微分算子法

首先要明确 “微分算子” 的符号表示，将 “求导” 这一运算转化为 “算子符号”，建立 “微分” 与 “代数” 的桥梁。
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多元函数微分学

二元函数的极限定义

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累次极限与重极限之间的关系

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1. 累次极限存在，并不能推出重极限存在；重极限存在，也不能推出累次极限存在；即使两个方向的累次极限都存在，它们也不一定相等

在例6中，f(x,y)的重极限是不存在的，但是f(x,y)的两个累次极限都是存在的，并且都相等

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在例7中，f(x,y)的重极限是不存在的，f(x,y)的两个累次极限都是存在的，但它们并不相等

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在例8中，f(x,y)的重极限是存在的，但f(x,y)的两个累次极限都是不存在的
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2. 若f(x,y)在某点的重极限以及两个方向的累次极限都存在，则这三个极限值一定相等

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3. 若f(x,y)在某点的两个方向的累次极限都存在，但是不相等，则f(x,y)在该点的重极限一定不存在

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二元函数的连续性

二元函数连续性定义

连续性的定义其实很好理解，对于任意小的正数，我们总能在P点的邻域内找到另一个点，使得两点的函数值之差小于该正数
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需要注意的是，如果P是D的孤立点，他天然是满足上面定义的，也就是说此时P也是f(x,y)关于D的连续点

而在大多数情况下，P都是D的聚点。如果P是D的聚点，那f(x,y)在P点连续就要求该点的极限值等于函数值
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有界闭域上的连续函数性质

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二元函数的可微性

二元函数可微的定义

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二元函数偏导数的定义

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一个二元函数在某点可微，能不能推出其在该点的两个偏导数存在？反过来呢？（可微的必要条件和充分条件）

偏导数存在是可微的必要条件，即可微能推偏导数存在，但是偏导数存在推不出来可微
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虽然偏导数存在推不出来可微，在再加个条件（函数在该点的两个偏导数均存在且偏导函数连续）就能推了
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证明过程也很简单，就是用两次中值定理

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可微的几何意义

一元函数在某点可微，在几何上反映为曲线在该点存在不平行于y轴的切线，二元函数在某点可微，在几何上的反映就是：曲面在该点处存在一个不平行于z轴的切面
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如果二元函数在某点可微，那我们一定能够求出曲面在该点的切平面方程，以及该切平面的法线方程

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方向导数与梯度

方向导数定义

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方向导数与偏导数的关系

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梯度的定义

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方向导数与梯度的关系

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二元函数的混合偏导数在什么条件下求导次序可交换？

如果二元函数的求导次序不同的两个混合偏导数在该点都连续，那该二元函数在该点做二次混合偏导，求导次序可交换
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二元函数中值定理

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证明过程如下
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二元函数泰勒公式

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二元函数的极值问题

首先我们给出二元函数极值的定义（注意，下面定义中的点P是函数定义域内部的点，不包含定义域边界上的点）
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极值点的必要条件

如果二元函数在内部某点取得极值，且在该点的偏导数存在，请问该点的偏导数是否一定是0？

没错，如果函数在该点的偏导数存在，那么偏导数为0就是该点是极值点的必要条件
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反过来问，如果函数在某点处的两个偏导数不存在，请问该点有没有可能是极值点？

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极值点的充分条件

前面我们说了，如果函数在该点偏导数存在，那么偏导数为0就是该点是极值点的必要条件。这说明仅仅靠两个偏导数为0，我们没法直接得出该点就是极值点，既然如此，我们还需要什么条件呢？
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隐函数定理

隐函数定理

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隐函数组定理

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反函数组与坐标变换

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二重积分的变量替换（二重积分换元法）

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考研数学笔记（更新中）
m0_48858192的博客
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