ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛 - J. Sum (找规律+打表)

ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛 - J. Sum

题意：

$f(i):i能拆分成两个数的乘积，且要求这两个数中各自都没有出现超过1$次的质因子。每次给出$n$,求$∑_{i=1}^nf(i)$

分析：

$1\le n \le 2e7$每次查询即使都是$O(n)$，也一定会超时，因此打表

首先我们发现一个数$n$由两个数$ab$相乘得到，并且$ab$这两个数中没有出现两次的因子，根据算术基本定理，任何数可以有素数组成，说明数$n$的相同素因子个数不能超过2

因此我们对素因子个数进行分类讨论便能发现规律

由于数据大打表必须使用欧拉筛，线性复杂度

在筛选过程中：

1.对于数$i是素数p$的情况:一定只有两种，即$1\times p 和 p \times 1$所以$f(p) = 2$

2.当数$i的因子中没有素数p的时候，即p \nmid i$,这个时候我们乘上p后相当于多了一个新的素因子

假设原来素因子有$p_1$

组合方式为

$$1\times p_1\ \ \ \ \ \ \ \ p_1\times1$$

当新加入一个素数$p$的时候，$p$可以在上面的的任意一边，即对于上面每一种方式，新加的p可以
使它变成两种，即放左边放右边

所以$f(i\times p) = f(i) \times 2$

3.当数$i中已经有了素因子p的时候即p | i仍然需要分两种情况讨论：$

如果i中已经有一个p了，即单纯的$p | i$此时再乘上一个p就成了$p^2$，p必须一边一个，相当于p不存在了不再对种类数产生影响，也就相当于少了一个素因子p，因此此时$f(i \times p) = \frac{f(i)}{2}$

而如果已经两个p了,即$p^2 | i$此时$f(i\times p) = 0$

code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e7+5;
bool vis[maxn];
int prime[maxn];
ll f[maxn];
ll res[maxn];
void init(){
    int cnt = 0;
    f[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; i++){
        if(!vis[i]){
            prime[cnt++] = i;
            f[i] = 2;
        }
        for(int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < maxn; j++){
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0){
                if(i % (prime[j] * prime[j]) == 0) f[i*prime[j]] = 0;
                else f[i*prime[j]] = f[i] / 2;
                break;
            }
            else{
                f[i*prime[j]] = f[i] * 2;
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i < maxn; i++){
        res[i] = res[i-1] + f[i];
    }
}
int main(){
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",res[n]);
    }
    return 0;
}