流形上的切片Wasserstein距离与梯度流

摘要

虽然许多机器学习方法已在黎曼流形上发展或转置以处理已知非欧几里得几何的数据，但在此类空间上的最优传输（OT）方法尚未受到足够关注。这些空间上的主要OT工具是Wasserstein距离，但其计算负担较重。在欧几里得空间中，一个流行的替代方案是切片Wasserstein距离，它利用了一维Wasserstein距离的闭式解，但这在流形上并不直接可用。

在本研究中，我们推导了在Cartan-Hadamard流形（具有非正曲率的黎曼流形，包括双曲空间和对称正定矩阵空间等）上切片Wasserstein距离的一般构造。然后，我们提出了不同的应用，例如在流形上使用适当学习的基础成本进行文档分类，以及在乘积流形上进行数据集比较。此外，我们推导了非参数化方案，通过近似其Wasserstein梯度流来最小化这些新距离。

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