Leetcode 3699. Number of ZigZag Arrays I

• Leetcode 3699. Number of ZigZag Arrays I
  • 1. 解题思路
  • 2. 代码实现

• 题目链接：3699. Number of ZigZag Arrays I

1. 解题思路

这一题思路上就是一个动态规划。

我们定义两个长度为$r-l+1$数组$\vec{u}$和$\vec{d}$，分别表示当数组个数为$n$时，第一个元素为$i$且下一个元素的方向为向上和向下时的取法的个数。

则易知有迭代公式：
$$\{\begin{array}{rl}{u}_{n+1}^i& =\sum _{j=i+1}^r{d}_n^j\\ d_{n+1}^i& =\sum _{j=l}^{i-1}{u}_n^j\end{array}$$

当然，直接进行迭代的话算法复杂度将会是$O(N^3)$，不过考虑到其中有两个累加操作，因此，我们可以通过累积数组的方式省略掉其中一次循环，整体的算法复杂度就是$O(N^2)$。

2. 代码实现

给出python代码实现如下：

MOD = 10**9 + 7

class Solution:
    def zigZagArrays(self, n: int, l: int, r: int) -> int:
        d = r-l
        up, down = [1 for _ in range(d)] + [0], [0] + [1 for _ in range(d)] 

        for i in range(n-2, -1, -1):
            prev_up = [0 for _ in range(d+1)]
            valid = 0
            for j in range(d-1, -1, -1):
                valid = (valid + down[j+1]) % MOD
                prev_up[j] = valid
            
            prev_down = [0 for _ in range(d+1)]
            valid = 0
            for j in range(1, d+1):
                valid = (valid + up[j-1]) % MOD
                prev_down[j] = valid

            up, down = prev_up, prev_down
        return (sum(up) + sum(down)) % MOD

提交代码评测得到：耗时10691ms，占用内存18.52MB。