34、特征值与特征向量计算方法及应用详解

特征值与特征向量计算方法及应用详解

1. 高斯消元法求解特征向量

1.1 基本原理

在求解给定方阵 [A] 的特征向量 {V} 时，特征向量满足矩阵方程 (([A] - \lambda[I]){V} = {0})，其中 [I] 是与 [A] 同阶的单位矩阵。此方程为齐次方程，只有当系数矩阵 ([A] - \lambda[I]) 的行列式等于零时，方程才有非平凡解。若矩阵 [A] 的阶数为 N，特征值 (\lambda) 的重数为 M（即有 M 个特征根等于 (\lambda)），则方程中有 M 个方程依赖于其他 N - M 个方程。

1.2 高斯消元法的问题与解决方法

当使用高斯消元法求解 {V} 时，如果 (\lambda) 的重数为 1，即使程序中有主元选择机制，最后一个方程的归一化也无法进行，因为 N 个方程中有一个依赖于其他 N - 1 个方程。此时，可以将 {V} 的最后一个分量设为任意常数 c，然后用 c 表示 {V} 的其他分量。当 (\lambda) 的重数为 M 时，由于方程 (1) 中只有 N - M 个方程是独立的，所以 {V} 有 M 个独立解。为了得到第一个解，将 {V} 的最后一个分量设为值 c1，其他最后 M - 1 个分量设为零，然后用 c1 表示 {V} 的前 N - M 个分量。为了得到第二个解，将 {V} 的倒数第二个分量设为值 c2，其他最后 M - 1 个分量设为零，并用 c2 表示 {V} 的前 N - M 个分量，依此类推。{V} 的 M 个解可以用 (c_i)（(i = 1,2,\cdots,M)）表示。

1.3 程序实现

程序 EigenVec 是通过修改程序