33、特征值与特征向量问题的深入探讨

特征值与特征向量问题的深入探讨

1. 引言

在物理问题中，有一类问题会引出包含未知参数的常微分方程。比如，考虑一根受轴向载荷 (P) 的细长杆的屈曲问题，其挠曲形状 (y(x)) 由以下方程控制：
[
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{M}{EI}=-\frac{Py}{EI}
]
其中，(EI) 是杆的刚度，(M) 是杆在截面 (x) 处的内弯矩（在此情况下等于 (-Py)）。若杆两端的边界条件为：
[
y(0) = 0, \quad y(L) = 0
]
方程中的未知参数 (P) 是导致杆屈曲的轴向载荷。问题的关键在于求解 (P) 以及相应的屈曲形状 (y(x))。当 (EI) 为常数时，该问题可通过解析方法求解，屈曲载荷为 (P = \frac{\pi^{2}EI}{L^{2}})；而当 (EI) 是 (x) 的函数时，则需采用数值方法来获取近似解。

在后续内容中，我们将运用有限差分近似法来求解上述方程。得到的矩阵方程将呈现标准形式：
[
[A - \lambda I]{Y} = {0}
]
其中，矩阵 ([A]) 取决于各站点之间的距离，向量 ({Y}) 包含杆在各站点的屈曲量，(\lambda) 与未知的屈曲载荷 (P) 相关。此方程可理解为已知矩阵 ([A])，试图找到一个合适的向量 ({Y})，使得 ([A]) 与 ({Y}) 相乘后得到一个缩放后的 ({Y})，这便是著名的特征向量和特征值问题，因为“eigen” 意为 “固有” 或 “特征”。方程中的 (\lambda) 和 ({Y}) 分别被称为矩阵 ([A]) 的特征值和特征向量。若矩