31、矩阵代数运算的 FORTRAN 编程实现

矩阵代数运算的 FORTRAN 编程实现

1. 矩阵方程的引入与表示

在处理线性代数方程组时，我们引入两个向量 ${V}$ 和 ${R}$。其中，向量 ${V}$ 包含未知变量 $x$、$y$ 和 $z$，而向量 ${R}$ 则包含方程组右侧的常数。具体表示如下：
${V} = [x \ y \ z]^T =
\begin{bmatrix}
x \
y \
z
\end{bmatrix}$
${R} = [4 \ 8 \ 9]^T =
\begin{bmatrix}
4 \
8 \
9
\end{bmatrix}$

利用矩阵乘法规则，线性代数方程组可以简洁地表示为 $[C]{V} = {R}$，其中系数矩阵 $[C]$ 由方程组中 $x$、$y$ 和 $z$ 的系数按行排列构成，即：
$[C] =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \
5 & 6 & 7 \
2 & 3 & 0
\end{bmatrix}$

矩阵乘法和转置在后续求解矩阵方程（如 $[C]{V} = {R}$）以及用有限差分近似常微分方程时会有更多应用。采用缩写的矩阵形式，能使计算方法的推导和解释变得更加简单。此外，从向量的表达式中可以看出，转置操作能方便地定义向量，避免使用占用多行的列矩阵。

2. FORTRAN 编程实现矩阵加减

2.1 矩阵运算的程序需求

由于矩阵加法和减法需要重复计算和矩阵 $[S]