16、有限差分、插值与数值微分的深入解析

有限差分、插值与数值微分的深入解析

1. 引言

在处理多项式或超越方程的特定根问题时，线性插值是一种常用方法，前提是要提供搜索区间的上下界。而对于更广泛的插值问题，其形式不一定是线性的，还可能是二次、三次、四次等。这里将介绍适用于工程分析的插值方法，不仅针对方程，还包括一组 $N$ 个列表数据 $(x_i, y_i)$（$i = 1 - N$）。

对于等间距的数据（即 $x_2 - x_1 = x_3 - x_2 = \cdots = x_N - x_{N - 1}$），会引入并构建有限差分表。该表可根据插值需求用作前向差分、后向差分或中心差分表。在推导前向差分、后向差分和中心差分算子的插值公式时，会用到泰勒级数和移位算子。同时，还开发了程序 DiffTabl 用于打印一组等间距数据的差分表。

为满足数值微分的需求，会引入微分算子。当给定一组等间距数据 $(x_i, y_i)$（$i = 1 - N$）时，会推导出基于前向差分、后向差分和中心差分算子的公式，用于计算在列表中的 $x$ 值或未列出的 $x$ 值处的 $\frac{dy}{dx}$。若 $x$ 不等于任何一个 $x_i$，则需通过修改泰勒级数展开式来结合插值和微分操作。

此外，还会讨论通用的拉格朗日插值公式在多项式曲线拟合和插值中的应用，并提供程序 LagrangI 以满足此需求。同时，会提供上述程序的 QuickBASIC、FORTRAN 和 MATLAB 版本，并展示如何使用 Mathematica 的 Interpolating Polynomial 函数替代 LagrangI