15、工程分析中的数值计算方法与应用

工程分析中的数值计算方法与应用

在工程分析领域，数值计算方法是解决各种复杂问题的关键工具。从矩阵代数到曲线拟合，再到多项式和超越方程的根求解，每一个环节都在工程设计和问题解决中发挥着重要作用。本文将深入探讨这些方法的原理、应用以及相关程序的使用，帮助读者更好地理解和运用这些强大的工具。

1. 矩阵代数与矩阵方程求解

1.1 矩阵与向量基础

矩阵和向量是工程分析中常用的数学工具。向量是一维数组，用花括号表示，如 {V}；矩阵是二维数组，用方括号表示，如 [M]。在计算机编程中，需要使用 DIMENSION 或 DIM 语句来声明向量或矩阵变量，以便计算机分配相应的内存空间。

1.2 矩阵运算

矩阵运算包括加法、减法和乘法。两个同阶矩阵 [A] 和 [B] 可以进行加法和减法运算，结果矩阵 [S] 和 [D] 的元素计算公式如下：
- 加法：$s_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$
- 减法：$d_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$

矩阵乘法的规则是，一个 L 行 M 列的矩阵 [A] 可以与一个 M 行 N 列的矩阵 [B] 相乘，得到一个 L 行 N 列的矩阵 [P]，其元素计算公式为：$p_{ij} = \sum_{k = 1}^{M} a_{ik}b_{kj}$

1.3 矩阵方程求解

对于线性代数方程组，可以将其表示为矩阵方程 [C]{V} = {R} 的形式。对于小阶系统，可以使用 Cramer’s Rule 求解，即通过计算行列式来得到未知向量 {A}。例如，对于方程 $y = a_1 + a_2x$ 经过两点 $(x