12、多项式与超越方程的根求解方法

多项式与超越方程的根求解方法

1. 引言

在实际问题中，我们常常需要找到曲线与 x 轴的交点，或者曲面与 xy 平面的交点，这在数学上就是求解方程根的问题。待求解的方程可以是 N 阶多项式，如 (P(x) = a_1 + a_2x + \cdots + a_{i}x^{i - 1} + \cdots + a_{N + 1}x^N)，也可以是超越方程，如 (C(x) = a_1\sin x + a_2\sin 2x + a_3\sin 3x)。N 阶多项式理论上有 N 个根，可能是实数根，也可能是复数共轭对；而超越方程可能有无限多个根。

接下来将介绍求解多项式和超越方程根的计算方法，包括增量搜索、二分搜索等初步方法来确定根的大致位置，再使用线性插值和牛顿 - 拉夫逊等更精确的方法来确定根的精确位置。同时，还会介绍一种名为连续替代的方法，并展示相关程序的不同语言实现及应用。

2. 迭代方法与 FindRoot 程序

2.1 可用的迭代方法

FindRoot 程序可让用户在以下四种迭代方法中进行选择：
1. 增量搜索
2. 二分搜索
3. 线性插值
4. 牛顿 - 拉夫逊迭代

2.2 多项式与超越方程

多项式在工程分析中经常出现，如振动和屈曲问题中的特征方程。n 次多项式可表示为：
(P(x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k + 1}x^k = a_1 + a_2x + a_3x^2 + \cdots + a_{n + 1}x^n)

对于 (n = 1, 2, 3)，标准数学手册中有现成的公式求解根；但对于较大