8、精确、最小二乘法和三次样条曲线拟合

精确、最小二乘法和三次样条曲线拟合

1. 引言

工程师们在实验室进行实验并收集数据，为了利用这些收集到的数据，常常需要用特定选择的曲线对其进行拟合。以下是几种常见的情况：
- 精确曲线拟合 ：例如，想要找到一个抛物线方程 $y = c_1 + c_2x + c_3x^2$ ，使其通过三个给定的点 $(x_i,y_i)$ （$i = 1,2,3$），这就是精确曲线拟合问题。
- 最小二乘法曲线拟合 ：在拉伸金属棒的弹性范围内收集应力 - 应变数据时，已知这些数据应符合直线方程 $y = c_1 + c_2x$ ，但由于测量设备校准不佳或测试环境存在噪声等原因，这些点可能不在同一条直线上。此时，需要确定系数 $c_1$ 和 $c_2$ ，而最小二乘法是最常用的准则之一。
- 特殊函数组合的曲线拟合 ：如果收集的数据代表时间的正弦函数，可假设曲线为 $x(t) = c_1\sin t + c_2\sin3t + c_3\sin5t + c_4\sin7t$ ，通过线性组合 4 个奇数正弦项，并使用最小二乘法确定系数 $c_1 - c_4$ 。
- 变换后的最小二乘法曲线拟合 ：当某些特殊形式的曲线需要拟合给定数据时，如果能找到数学变换将描述曲线的方程转换为线性方程，仍可应用最小二乘法。
- 三次样条曲线拟合 ：这是另一种常用的曲线拟合技术，它能导出平滑的三次方程，确保通过所有给定点的斜率和曲率连续。

为满足上述四种曲线拟合需求，开发了 ExactFit、LeastSq1