6、工程分析中的矩阵代数与方程求解

工程分析中的矩阵代数与方程求解

1. 引言

在工程分析领域，计算机在处理重复计算和数据组织方面表现出色。矩阵和向量作为重要的数学工具，在编程和问题求解中具有关键作用。向量是一维数组，通常用花括号表示，如 {V}；矩阵则是二维的矩形数组，用方括号表示，如 [M]。在编写计算机程序时，需要使用 DIMENSION 或 DIM 语句来声明向量或矩阵变量，以便计算机为其分配多个内存空间。

将大量不同实体组织成向量或矩阵形式，通过指定行和列的编号来引用特定实体，能提高编程和数据处理的效率。例如，100 个数字用 A(1) 到 A(100) 表示比用 A、B 等不同字符更具优势。

矩阵代数在工程分析中有广泛应用，包括坐标系统变换、动画设计等。本文将深入探讨矩阵的基本操作，如加法、减法、乘法，以及矩阵方程的求解方法。

2. 矩阵的操作

2.1 矩阵的加法和减法

两个矩阵 [A] 和 [B] 若具有相同的阶数（即行数和列数相同，设为 M 行 N 列），则可以进行加法和减法运算。和矩阵 [S] 与差矩阵 [D] 分别由以下公式计算：
[
s_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
]
[
d_{ij} = a_{ij} - b_{ij}
]
其中，(i) 从 1 到 M，(j) 从 1 到 N。

在向量加法和减法的情况下，只有一列（N = 1）。例如，在二维空间中，向量 {V1} = [4 0]T 和向量 {V2} = [0 3]T，它们的和向量 {R} = {V1} + {V2} = [4 3]T，差向量 {D} = {V1} - {