17、天体物理学与宇宙学：辐射、物质与宇宙微波背景的奥秘

天体物理学与宇宙学：辐射、物质与宇宙微波背景的奥秘

1. 平滑的辐射/物质转变

在宇宙学中，哈勃参数 $H(t)$ 定义为 $H(t) = \frac{da(t)/dt}{a(t)}$。当将时间尺度缩放到当前时刻 $t \to t_0$ 时，$H_0 = H(t_0)$，$\alpha(t) = \frac{a(t)}{a_0}$。对于零曲率的“平坦”宇宙，其临界密度为 $\rho_c = \frac{3H_0^2}{8\pi G}$。

在存在多种能量源的情况下，尺度因子 $\alpha(t)$ 的一般行为可由下式描述：
[
\frac{d\alpha/dt}{\alpha} = H_0 \sqrt{\frac{\Omega_{\gamma}}{\alpha^4} + \frac{\Omega_{m}}{\alpha^3} + \Omega_{\Lambda}}
]
这里的 $\Omega$ 值是当前值，$H_0$ 也是当前的哈勃参数值，$a_0$ 是当前的尺度。我们也可以通过 $H(t) = \frac{d\alpha/dt}{\alpha}$ 的定义来求解 $H(t)$。

MATLAB 提供了工具来轻松求解由两种能量源（如物质和辐射）共同驱动的宇宙膨胀问题。在考虑了原始中微子的小修正后，我们可以通过符号定积分来隐式地求出哈勃参数。对于辐射和物质，存在显式解，其形式与源的强度平方根以及 $H_0t$ 的幂次有关；对于真空能量，则是指数形式。具体如下：
[
\alpha_{\gamma} = [(\frac{3}{2})\sqrt{\Omega_{m}H_0t}]^{\frac{2}{3}}, \quad H_0t =