背包优化

多重背包优化一

•看做有N组物品，放入容量为j的背包，对于每组物品，选择放入的数量k(0…n[i])

•对于第i种物品，放入容量为j的背包

f[j+k*c[i]] = max{f[j+k*c[i]],f[j]+k*w[i]}

•j= 0: c[i], 2*c[i], 3*c[i],..., n[i]*c[i]

•j= 1: 1+c[i], 1+2*c[i]...

•j= c[i]: 2*c[i],3*c[i]...

•如果f[c[i]]中放入了c[i],j=0 与 j=c[i]完全重复

•一种优化，如果f[j]被更新过了，那就跳过此次循环

多重背包优化二(仅限于可行性问题)

•和完全背包相比，物品的数量是有限的，尽量节省地使用物品i

•g[i][j],记录物品i，在容量为j，达到最优值时，使用的最少数量

•如果之前物品能够在容量为j时达到最优值，那就不用使用物品i了

•f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i][j-c[i]]+w[i]}

•g[i][j]= 0,                   f[i][j] =f[i-1][j]

•             g[i][j-c[i]]+1,  f[i][j] = f[i][j-c[i]]+w[i]  

•

•fori = 1 to N

•    g[0…V] = 0

•    for j = 0 to V

•         if g[j-c[i]] + 1 > n[i] continue

•          if f[j-c[i]]+w[i] > f[j]

•               f[j] = f[j-c[i]]+w[i]

•               g[j] = g[j-c[i]] + 1

•

•时间复杂度O(NV)

开始以为这种想法可以用于求最值的多重背包，后来学长给出反例：

”如果 g[j - v[i]] + 1 > c[i] 
这个时候 不能从转移 dp[j - v[i]] + w[i] 
这个一定是对的么 
万一 dp[j - v[i]] 的最优值 是用了 c[i] 个得到的 
但是如果我在 dp[j - v[i]] 处用用了 c[i] - 1 个 
那个不是最优值 
但是 转移到 dp[j - v[i]] + w[i] 
可以得到比 dp[j] 更优的怎么办呢 “

...还真没办...写下交了道水题，果断WA掉了...

想想，这种转移违背了最优子结构的性质，子问题最优，但原问题不定最优

多重背包优化三

就是比较常见的单调队列优化

单调队列优化，一般就是证明，对于i ，任意的j<i,  都有F(i) > F(j)，则小于i的都不用考虑，从而减少枚举的决策数

详细讲解见http://www.cppblog.com/flyinghearts/archive/2010/09/01/125555.html

更多的关于单调队列优化的见http://wenku.baidu.com/view/ef259400bed5b9f3f90f1c3a.html