并查集详解：原理、实现与优化-优快云博客

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并查集

1、概念

并查集：主要用于解决一些元素分组的问题。它管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：

合并（Union）：把两个不相交的集合合并为一个集合。
查询（Find）：查询两个元素是否在同一个集合中。

并查集的重要思想在于，用集合中的一个元素代表集合。像热门博客上说并查集的那样，我们可以把集合比喻成帮派，而代表元素则是帮主。

（1）最开始，所有大侠各自为战。他们各自的帮主自然就是自己。（对于只有一个元素的集合，代表元素自然是唯一的那个元素）

（2）接下来，1号和3号比武，假设1号赢了（这里具体谁赢暂时不重要），那么3号就认1号作帮主（合并1号和3号所在的集合，1号为代表元素）。

（3）现在2号想和3号比武（合并3号和2号所在的集合），但3号表示，别跟我打，让我帮主来收拾你（合并代表元素）。不妨设这次又是1号赢了，那么2号也认1号做帮主。

以后的步骤都同上，最后：

==>由图论可知，这是一个树状的结构，要寻找集合的代表元素，只需要一层一层往上访问父节点（图中箭头所指的圆），直达树的根节点（图中橙色的圆）即可。根节点的父节点是它自己。我们可以直接把它画成一棵树：

注：代表元：用集合中的某个元素来代表这个集合，则该元素称为此集合的代表元。（例如本例中的1）

2、主体代码：

（1）初始化：

int fa[MAXN];
inline void init(int n)
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        fa[i] = i;
}

数组fa[]用来存储每个元素的父元素（每个元素有且仅有一个父节点，所以可以用数组存储）
一开始，我们都将它们的父节点设为自己本身：fa[i]=i;

（2）查询find()：

int find(int x)
{
    if(fa[x] == x)
        return x;
    else
        return find(fa[x]);
}

运用递归实现，一层一层访问父节点，直至根节点（根节点的标志就是父节点是本身）。
要判断两个元素是否属于同一个集合，只需要看它们的根节点是否相同即可。

（3）合并merge()：

inline void merge(int i, int j)
{
    fa[find(i)] = find(j);
}

先找到两个集合的代表元素，然后将前者的父节点设为后者即可（当然也可以将后者的父节点设为前者的）。–>后面的按秩合并会处理该问题。

3、路径压缩：

（1）问题引入：

最简单的并查集效率是比较低的。例如：

我们要从2–>1–>3 然后再将fa[3]设为4，数据越多，链越长，随着链越来越长，我们想要从底部找到根节点会变得越来越难。

怎么解决呢？我们可以使用路径压缩的方法。既然我们只关心一个元素对应的根节点，那我们希望每个元素到根节点的路径尽可能短，最好只需要一步，像这样：

（2）实现：

实现方法很简单，我们只要在查询的过程中，把沿途的每个节点的父节点都设为根节点即可。下一次再查询时，就很方便啦。

代码：

int find(int x)
{
    return x == fa[x] ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}

路径压缩优化后，并查集的时间复杂度已经比较低了，绝大多数不相交集合的合并查询问题都能够解决。然而，对于某些时间卡得很紧的题目，我们还可以进一步优化。

4、按秩合并

例如：merge(7,8)我们是将7的父节点设为8，还是8的父节点设为7？

当然是把8的父节点设为7，因为如果把7的父节点设为8，会使得7的那棵树的深度进一步加深，原来的树中每个元素到根节点的距离都变长了，之后我们寻找根节点的路径也就会相应变长。

而将8的父节点设为7就不会出现上述的问题。

==>这启发我们：我们应该把简单的树往复杂的树上合并，而不是相反。因为这样合并后，到根节点距离变长的节点个数比较少。

我们用一个数组rank[]记录每个根节点对应的树的深度（如果不是根节点，其rank相当于以它作为根节点的子树的深度）。一开始，把所有元素的rank（秩）设为1。合并时比较两个根节点，把rank较小者往较大者上合并。
路径压缩和按秩合并如果一起使用，时间复杂度接近 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-0OGtZ2Re-1637031585214)(https://www.zhihu.com/equation?tex=O%28n%29)] ，但是很可能会破坏rank的准确性。

（1）初始化（按秩合并的）：

inline void init(int n)
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        fa[i] = i;
        rank[i] = 1;
    }
}

（2）合并：

inline void merge(int i, int j)
{
    int x = find(i), y = find(j);    //先找到两个根节点
    if (rank[x] <= rank[y])//x的深度<y的深度,就把x并到y上【即x得父节点设为y】
        fa[x] = y;
    else
        fa[y] = x;
    if (rank[x] == rank[y] && x != y)
        rank[y]++;                   //如果深度相同且根节点不同，则新的根节点的深度+1
}