HDU 5909 Tree Cutting （点分治+树形DP|FWT+树形DP）

最新推荐文章于 2024-05-22 17:32:19 发布

clover_hxy

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分类专栏：动态规划 FFT 文章标签： DP 点分治 FWT

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本文介绍了一种利用树形DP和快速沃尔特变换(FWT)来解决特定子图计数问题的方法。通过两种不同的算法实现——FWT优化的树形DP及点分治结合树形DP，解决了给定树上异或和为指定范围的非空连通子图的计数问题。详细介绍了算法思想、时间复杂度分析以及具体代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

传送门

题目大意：给出一棵树，求异或和为[0..m-1]的非空连通子图的个数。

题解1

FWT+树形DP
$f[i][j]$ 表示以i为根异或和为j的连通子树的个数（注意必须是i的子树中）
$f[x][j$ ^ $k]=f[x][j$ ^ $k]+f[x][j]*f[son][k]$ 这个转移方程的瓶颈在于 $f[x][j]*f[son][k]$ ，转移是 $O(m^2)$
可以发现转移实际上就是异或卷积，可以用FWT优化。
FWT这东西第一次接触，感觉原理就算懂了也会忘，所以直接背的板子。。。
时间复杂度 $O(nm\log m)$

代码1

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 2003
#define p 1000000007
#define LL long long 
using namespace std;
const LL ret=(p+1)/2;
LL dp[N][N],ans[N],tmp[N];
int tot,n,m,nxt[N],v[N],point[N],val[N];
void add(int x,int y)
{
    tot++; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;
    tot++; nxt[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x;
}
void FWT(LL *a,int n)
{
    for (int i=1;i<n;i<<=1)
     for (int p1=i<<1,j=0;j<n;j+=p1)
      for (int k=0;k<i;k++) {
        LL x=a[j+k]; LL y=a[j+k+i];
        a[j+k]=(x+y)%p; 
        a[j+k+i]=(x-y+p)%p;
      }
}
void UFWT(LL *a,int n)
{
    for (int i=1;i<n;i<<=1)
     for (int p1=i<<1,j=0;j<n;j+=p1)
      for (int k=0;k<i;k++){
        LL x=a[j+k]; LL y=a[j+k+i];
        a[j+k]=(x+y)%p*ret%p;
        a[j+k+i]=((x-y)*ret%p+p)%p;
      }
}
void solve(LL *a,LL *b,int n)
{
    FWT(a,n); FWT(b,n);
    for (int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*b[i]%p;
    UFWT(a,n);
}
void dfs(int x,int fa)
{
    dp[x][val[x]]=1;
    for (int i=point[x];i;i=nxt[i]) {
        if (v[i]==fa) continue;
        dfs(v[i],x);
        for (int j=0;j<m;j++) tmp[j]=dp[x][j];
        solve(dp[x],dp[v[i]],m);
        for (int j=0;j<m;j++) 
         dp[x][j]=(tmp[j]+dp[x][j])%p;
    }
    for (int i=0;i<m;i++)
     ans[i]=(ans[i]+dp[x][i])%p;
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
//  freopen("my.out","w",stdout);
    int T; scanf("%d",&T);
    while (T--) {
        tot=0;
        memset(point,0,sizeof(point));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]);
        for (int i=1;i<n;i++) {
            int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
            add(x,y);
        }
        dfs(1,0);
        for (int i=0;i<m-1;i++) printf("%I64d ",ans[i]);
        printf("%I64d\n",ans[m-1]);
    }
}

题解2

点分治+树形DP
对于每个节点，点分治到他的时候直接做树形依赖即可。
令 $f[son][j$ ^ $val[son]]=f[x][j]$ ,带入计算，最后用计算后f[x]数组更新总答案
这样每个点都之后被计算logn次，时间复杂度 $O(nm\log n)$

代码2

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 2003
#define p 1000000007
#define LL long long 
using namespace std;
LL dp[N][N],ans[N];
int tot,n,m,nxt[N],v[N],point[N],val[N],f[N],size[N],root,vis[N],sum;
void add(int x,int y)
{
    tot++; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;
    tot++; nxt[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x;
}
void getroot(int x,int fa)
{
    f[x]=0; size[x]=1;
    for (int i=point[x];i;i=nxt[i]) {
        if (v[i]==fa||vis[v[i]]) continue;
        getroot(v[i],x);
        size[x]+=size[v[i]];
        f[x]=max(f[x],size[v[i]]);
    }
    f[x]=max(f[x],sum-size[x]);
    if (f[x]<f[root]) root=x;
}
void calc(int x,int fa)
{
    for (int i=point[x];i;i=nxt[i]) {
        if (v[i]==fa||vis[v[i]]) continue;
        for (int j=0;j<m;j++) dp[v[i]][j^val[v[i]]]=dp[x][j];
        calc(v[i],x);
        for (int j=0;j<m;j++)
         dp[x][j]=(dp[x][j]+dp[v[i]][j])%p;
        for (int j=0;j<m;j++) dp[v[i]][j]=0;
    }
}
void solve(int x)
{
    vis[x]=1;
    dp[x][val[x]]=1; calc(x,0); 
    for (int i=0;i<m;i++) ans[i]=(ans[i]+dp[x][i])%p;
    for (int i=0;i<m;i++) dp[x][i]=0;
    for (int i=point[x];i;i=nxt[i]) {
        if (vis[v[i]]) continue;
        sum=size[v[i]]; root=0;
        getroot(v[i],x);
        solve(root);
    }
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
//  freopen("my.out","w",stdout);
    int T; scanf("%d",&T);
    while (T--) {
        tot=0;
        memset(point,0,sizeof(point));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]);
        for (int i=1;i<n;i++) {
            int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
            add(x,y);
        }
        f[0]=p; root=0; sum=n;
        getroot(1,0); 
        solve(root);
        for (int i=0;i<m-1;i++) printf("%I64d ",ans[i]);
        printf("%I64d\n",ans[m-1]);
    }
}