cogs 2259. 异化多肽（生成函数+NTT）

最新推荐文章于 2021-01-15 15:13:29 发布

clover_hxy

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分类专栏：生成函数 FFT 文章标签： ntt 生成函数

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本文介绍了一种预测特定相对分子质量的多肽链种类数量的方法。通过构造生成函数并运用多项式求逆技巧，实现了高效计算。代码采用C++实现，涉及快速幂、NTT变换及多项式求逆等算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

传送门

题目大意：M种氨基酸，已知其相对分子质量分别为C1,C2,C3……，经过精密的脱水缩合后形成了大量各种各样的肽链。需要预测有多少种多肽链水解后相对分子质量和为N。(A-B-C与C-B-A两条肽链视为不同)

题解

设生成函数A(x),序列中的每一位{ai}表示相对分子质量为i的氨基酸有多少个。
生成函数B(x)，序列中的每一位{bi}表示相对分子质量和为i的肽链有多少种。
那么容易得出

B (x) = \sum i = 0 \infty A (x) i

$B(x)=\sum_{i=0}^{\infty} A(x)^i$
根据无穷等比数列的计算公式

B (x) = 1 1 - A ( x )

$B(x)={1\over 1-A(x)}$
那么我们只要对多项式

1−A(x) $1-A(x)$ 求逆，得到的多项式

B(x) $B(x)$ 中

xn $x^n$ 的系数就是答案。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 600003
#define p 1005060097
#define LL long long 
using namespace std;
LL a[N],b[N],c[N];
int n,m,n1,L,R[N];
LL quickpow(LL num,LL x)
{
    LL base=num%p; LL ans=1;
    while(x){
        if (x&1) ans=ans*base%p;
        x>>=1;
        base=base*base%p;
    }
    return ans;
}
void NTT(LL a[N],int n,int opt)
{
    for (int i=0,j=0;i<n;i++) {
        if (i>j) swap(a[i],a[j]);
        for (int l=n>>1;(j^=l)<l;l>>=1);
    }
    for (int i=1;i<n;i<<=1) {
        LL wn=quickpow(5,(p-1)/(i<<1));
        for (int p1=i<<1,j=0;j<n;j+=p1){
            LL w=1;
            for (int k=0;k<i;k++,w=w*wn%p){
                LL x=a[j+k]; LL y=a[j+k+i]*w%p;
                a[j+k]=(x+y)%p; a[j+k+i]=(x-y+p)%p;
            }
        }
    }
    if (opt==-1) reverse(a+1,a+n);
}
void INV(int n,LL a[N],LL b[N],LL c[N])
{
    if (n==1) b[0]=quickpow(a[0],p-2);
    else {
        INV(n>>1,a,b,c);
        int k=(n<<1);
        for (int i=0;i<n;i++) c[i]=a[i];
        for (int i=n;i<k;i++) c[i]=0;
        NTT(c,k,1);
        NTT(b,k,1);
        for (int i=0;i<k;i++) b[i]=(2-c[i]*b[i]%p+p)%p*b[i]%p;
        NTT(b,k,-1);
        LL inv=quickpow(k,p-2);
        for (int i=0;i<k;i++) b[i]=b[i]*inv%p;
        for (int i=n;i<k;i++) b[i]=0;
    }
}
int main()
{
    freopen("polypeptide.in","r",stdin);
    freopen("polypeptide.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m); int mx=0;
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int x; scanf("%d",&x);
        a[x]--; mx=max(mx,x);
    }
    a[0]=1; int t=n;
    for (int i=0;i<=mx;i++) a[i]=(a[i]+p)%p;
    m=2*mx;
    for (n1=1;n1<=m;n1<<=1) L++;
    for (int i=0;i<=n1;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    INV(n1,a,b,c);
    printf("%I64d\n",b[t]%p);
}