bzoj 3229: [Sdoi2008]石子合并（GarsiaWachs算法）

最新推荐文章于 2021-03-22 01:13:50 发布

clover_hxy

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分类专栏：动态规划文章标签： DP

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本文探讨了经典的石子合并问题，并介绍了如何使用Garsia-Wachs算法来解决该问题，该算法在多数情况下可以达到接近O(nlogn)的时间复杂度。

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题目描述

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题解

石子合并应该算是比较经典的问题了。
$f(i,j)$ 表示区间 $[i,j]$ 合并的最小代价， $f(i,j)=min\{f(i,k)+f(k+1,j)+sum(i,j)\}$
最裸的DP是 $O(n^3)$ ,利用四边形不等式优化可以做到 $O(n^2)$ ,但是对于这道题的数据范围还是不够，我们需要更优越的算法——GarsiaWachs算法
这个算法是 $O(n^2)$ ，但是是不严格的，那么在大多数情况下时间复杂度是接近 $O(nlogn)$

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define N 500003
#define LL long long 
using namespace std;
int a[N],t,n;
LL ans;
void combine(int k)
{
    int tmp=a[k-1]+a[k];
    ans+=tmp;
    for (int i=k;i<t-1;i++) a[i]=a[i+1];
    t--; int j=0;
    for (j=k-1;j>0&&a[j-1]<tmp;j--) a[j]=a[j-1];
    a[j]=tmp;
    while (j>=2&&a[j]>=a[j-2]) {
        int d=t-j;
        combine(j-1);
        j=t-d;
    }
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    t=1;
    for (int i=1;i<n;i++) {
        a[t++]=a[i];
        while (t>=3&&a[t-3]<=a[t-1]) combine(t-2);
    }
    while (t>1)  combine(t-1);
    printf("%lld\n",ans);
}

决策单调性Ｏ(n^2)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 1003
using namespace std;
int f[N][N],val[N],n,sum[N],s[N][N];
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+val[i];
    memset(f,127/3,sizeof(f));
    for (int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=0,s[i][i]=i;
    for (int l=2;l<=n;l++) {
        s[n-l+1][n]=n;
        for (int i=n-l+1;i>=1;i--) {
            int j=i+l-1;
            for (int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++) {
                int tmp=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
                if (tmp<f[i][j])
                 f[i][j]=tmp,s[i][j]=k;
            }
        }
    }
    printf("%d\n",f[1][n]);
}