bzoj 4710: [Jsoi2011]分特产（容斥原理+DP）

最新推荐文章于 2019-03-02 10:29:42 发布

clover_hxy

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分类专栏：动态规划容斥原理文章标签： dp 容斥原理

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本文介绍了一道关于将特产分配给多个同学的问题，并使用容斥原理进行解答。通过插板法计算了没有空盒的分配方案数，并进一步考虑至少有i个空盒的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

传送门

题目大意：n个同学，m种特产，每个特产有ai个。求每个同学至少分得一个特产的方案数。

题解

根据容斥原理：
没有空盒子的方案数=至少0个空盒子的方案数-至少1个空盒子的方案数+至少2个空盒子的方案数…….
那么我们可以对于每个特产分开考虑，相当于是n个球放到m个盒子中,可以有空盒子，方案数可以同插板法计算，答案是 $C(n+m-1,m-1)$ .那么如何考虑至少i个空盒子的贡献呢？我们直接选出i个盒子(方案数为 $C(n,i)$ )，强制他们为空，剩下的利用插板法即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 2000
#define p 1000000007
#define LL long long 
using namespace std;
int n,m,a[N+3],c[N+3][N+3];
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=0;i<=N;i++) c[i][0]=1;
    for (int i=1;i<=N;i++)
     for (int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%p;
    for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);
    int t; LL sum=0;
    for (int i=0;i<=n;i++) {
        if (i&1) t=-1;
        else t=1;
        LL ans=1;
        for (int j=1;j<=m;j++) ans=ans*c[n+a[j]-i-1][n-i-1]%p;
        sum=(sum+t*c[n][i]%p*ans%p)%p;
    }
    printf("%lld\n",(sum%p+p)%p);
}