bzoj 2178: 圆的面积并（辛普森积分）

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本文介绍了一种使用辛普森积分方法解决多个圆面积并集计算的问题。通过输入圆心坐标和半径，利用辛普森积分计算这些圆面积的并集，并详细展示了算法实现过程。

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2178: 圆的面积并

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Description

给出N个圆，求其面积并

Input

先给一个数字N ,N< = 1000 接下来是N行是圆的圆心，半径，其绝对值均为小于1000的整数

Output

面积并，保留三位小数

题解：辛普森积分

辛普森积分可以用来求解一些较平滑曲线的面积，可以自动调整精度但还是有较大的误差。

具体怎么用呢？就是每次找到a,(a+b)/2,b三个位置利用三个位置的f值来近似计算不规则图形或函数的面积。

对于不同的题有不同的f

对这道题来说，f(i)就是x=i直线上所有被覆盖区域的长度。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 2003
#define eps 1e-13
using namespace std;
int n,m,top,st,ed;
bool mark[N];
double xl[N],xr[N],ans;
struct data{
    double x,y,r;
}a[N],sk[N]; 
struct line{
    double l,r;
}p[N];
int cmp(data a,data b){
    return a.r<b.r;
}
int cmp1(data a,data b){
    return a.x-a.r<b.x-b.r;
}
int cmp2(line a,line b){
    return a.l<b.l;
}
double pow(double x)
{
    return x*x;
}
double dis(data a,data b){
    return sqrt(pow(a.x-b.x)+pow(a.y-b.y));
}
double getf(double x)
{
    double r,dis,len=0;
    int sz=0;
    for (int i=st;i<=ed;i++){
        if (xl[i]>=x||xr[i]<=x) continue;
        dis=sqrt(sk[i].r-pow(x-sk[i].x));
        p[++sz].l=sk[i].y-dis;  p[sz].r=sk[i].y+dis;
    }
    sort(p+1,p+sz+1,cmp2);
    int i,j;
    for (i=1;i<=sz;i++){
        r=p[i].r;
        for (j=i+1;j<=sz;j++){
            if (p[j].l>r) break;
            r=max(r,p[j].r);
        }
        len+=r-p[i].l; i=j-1;
    }
    return len;
}
double calc(double l,double fl,double fmid,double fr)
{
    return l/6.0*(fl+4.0*fmid+fr);
}
double simpson(double l,double mid,double r,double fl,double fmid,double fr,double s)
{
    double m1=(l+mid)/2,m2=(mid+r)/2;
    double f1=getf(m1),f2=getf(m2);
    double g1=calc(mid-l,fl,f1,fmid),g2=calc(r-mid,fmid,f2,fr);
    if (fabs(g1+g2-s)<eps) return g1+g2;
    return simpson(l,m1,mid,fl,f1,fmid,g1)+simpson(mid,m2,r,fmid,f2,fr,g2);
}
void work()
{
    for (int i=1;i<=m;i++) xl[i]=sk[i].x-sk[i].r,xr[i]=sk[i].x+sk[i].r,sk[i].r*=sk[i].r;
    int i,j; double l,r;
    double fl,fr,fmid;
    for (i=1;i<=m;i++){
        l=xl[i]; r=xr[i];
        for (j=i+1;j<=m;j++){
            if (xl[j]>r) break;
            r=max(r,xr[j]);
        }
        st=i; ed=j-1; i=j-1;
        double mid=(l+r)/2;
        fl=getf(l); fmid=getf(mid); fr=getf(r);
        //cout<<fl<<" "<<fr<<" "<<fmid<<endl;
        ans+=simpson(l,mid,r,fl,fmid,fr,calc(r-l,fl,fmid,fr));
    }
}
int main()
{
	freopen("15.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     scanf("%lf%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].r);
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for (int i=1;i<=n-1;i++)
     for (int j=i+1;j<=n;j++)
      if (dis(a[i],a[j])<=a[j].r-a[i].r) {
        mark[i]=1;
        break;
      }
    for (int i=1;i<=n;i++)
     if (!mark[i]) sk[++m]=a[i];
    sort(sk+1,sk+m+1,cmp1);
    work();
    printf("%.3lf\n",ans);
}