2018年湘潭大学程序设计竞赛 G题矩阵快速幂

最新推荐文章于 2021-04-07 18:14:18 发布

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂算法优化斐波那契数列计算的方法，通过构造特定矩阵加速大数运算，有效解决了斐波那契数列在大数值下计算效率低的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/105/G
来源：牛客网

又见斐波那契
时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒
空间限制：C/C++ 32768K，其他语言65536K
64bit IO Format: %lld
题目描述
这是一个加强版的斐波那契数列。
给定递推式
求F(n)的值，由于这个值可能太大，请对109+7取模。
输入描述:
第一行是一个整数T(1 ≤ T ≤ 1000)，表示样例的个数。
以后每个样例一行，是一个整数n(1 ≤ n ≤ 1018)。
输出描述:
每个样例输出一行，一个整数，表示F(n) mod 1000000007。
示例1
输入
复制
4
1
2
3
100
输出
复制
1
16
57
558616258

思路：

我们构造一个矩阵D = {

{0,1,0,0,0,0},
{1,1,0,0,0,0},
{0,1,1,0,0,0},
{0,4,3,1,0,0},
{0,6,3,2,1,0},
{0,4,1,1,1,1}
};

(i + 1) ^ 3 + (i + 1) ^2 + (i + 1) + 1 = x^3 + 4x^2 + 6x + 4

用这个矩阵来加速 A = {f0,f1,1,1,1,1}，于是 fn = A * D ^ ( n - 1 ) [0][1];

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod = 1e9 + 7;
const int N = 6;
struct Matrix
{
    int n;
    ll d[6][6];
    void init(int n)
    {
        this -> n = n;
        memset(d,0,sizeof(d));
    }
    Matrix operator *(Matrix &b)
    {
        Matrix ans;
        ans.init(n);
        for (int i = 0;i < n;i ++)
            for (int j = 0;j < n;j ++)
                for (int k = 0;k < n;k ++)
                    ans.d[i][j]=(ans.d[i][j]+d[i][k]*b.d[k][j])%mod;
        return ans;
    }
};
ll a[N][N] = {
        {0,1,0,0,0,0},
        {1,1,0,0,0,0},
        {0,1,1,0,0,0},
        {0,4,3,1,0,0},
        {0,6,3,2,1,0},
        {0,4,1,1,1,1}
        };
ll b[6] = {0,1,1,1,1,1};
Matrix quick(Matrix a,ll b)
{
    Matrix res;
    res.init(a.n);
    for (int i = 0;i < res.n;i ++)
        res.d[i][i] = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    ll t,n;
    scanf("%lld",&t);
    while (t --)
    {
        scanf("%lld",&n);
        if (n < 2)
        {
            printf("%lld\n",n);
            continue;
        }
        Matrix x,ans;
        x.init(6),ans.init(6);
        for (int i = 0;i < N;i ++)
            for (int j = 0;j < N;j ++)
                x.d[i][j] = a[i][j];
        for (int i = 0;i<N;i++) ans.d[0][i]=b[i];
        x = quick(x,n - 1);
        ans = ans * x;
        printf("%lld\n",ans.d[0][1]);
    }
    return 0;
}