[算法导论][练习题]2.1

2.1-1

以图2-2为模型，说明INSERTION-SORT在数组$A=<31，41，59，26，41，58>$上的执行过程。

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答：

1. 图a显示了数组$A$的初始化状态，也就是数组$A$在排序前的顺序。
2. 在图b中，我们认定由第1个元素31为已排序的元素，此时我们指定第2个元素41为当前待插入的元素。因为41>31，所以41继续保存在数组第2个元素的位置。此时，数组$A$中已排序的子数组为$<31,41>$，剩余元素为未排序的。
3. 在图c中，我们指定数组第3个59元素为当前待插入的元素。因为59>41，所以59继续保存在数组第3个元素的位置。此时，数组$A$中已排序的子数组为$<31,41,59>$，剩余元素为未排序的。
4. 在图d中，我们指定数组第4个元素26为当前待插入的元素。因为26<59，所以将数组第3个元素移动到第4个元素的位置；因为26<41，所以继续将数组第2个元素移动到第3个元素的位置；又因为26<31，故继续将数组第1个元素移动到第2个元素的位置。因此时数组中再无元素与待插入的元素想比较，故将26保存在数组第1个元素中的位置。此时，数组$A$中已排序的子数组为$<26,31,41,59>$，剩余元素为未排序的。
5. 在图e中，我们指定数组第5个元素41为当前待插入的元素。因为59>41，所以将数组第4个元素移动到第5个元素的位置；但因为41==41，故数组第3个元素不再移动。此时，数组$A$中已排序的子数组为$<26，31，41，41，59>$，剩余元素为未排序的。
6. 在图f中，我们指定数组第6个元素58为当前待插入的元素。以为59>58，所以将数组第5个元素移动到第6个元素的位置；而因为41<58，故数组第4个元素不再移动。此时，数组$A$中已排序的子数组为$<26,31,41,41,58,59>$，因为再无剩余的未排序元素，故排序结束。
7. 在图g中，表示出已排序的数组状态，其中的顺序为排序结果，即经排序后的数组$A^{\prime }=<26,31,41,41,58,59>$。

综上所述，在排序的过程中，数组$A$的变化如下：
$$A=<31,41,59,26,41,58>$$
$$A=<31,41,59,26,41,58>$$
$$A=<31,41,59,26,41,58>$$
$$A=<26,31,41,59,41,58>$$
$$A=<26,31,41,41,59,58>$$
$$A=<26,31,41,41,58,59>$$

2.1-2

重写过程INSERTION-SORT，使之按非升序（而不是非降序）排序。

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答：

INSERTION-SORT-DESC(A)
	for j = 2 to A.length
		key = A[j]
		// Insert A[j] into the sorted sequence A[1 .. j-1]
		i = j - 1
		while i > 0 and A[i] < key
			A[i + 1] = A[i]
			i = i - 1
		A[i + 1] = key

2.1-3

考虑以下查找问题：
输入：$n$个数的一个序列$A=<a_1,a_2,...,a_n>$和一个值$v$。
输出：下标$i$使得$v=A[i]$或者当$v$不在$A$中出现时，$v$为特殊值NIL。
写出线性查找的伪代码，它扫描整个序列来查找$v$。使用一个循环不变式来证明你的算法时正确的。确保你的循环不变式满足三条必要的性质。

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答：

• 算法伪命题

LINEAR-SEARCH(A, v)
	for i = 1 to A.length
		if A[i] == v
			return i
	return NIL

此处将“当$v$不在$A$中出现时，$v$为特殊值NIL”，改成“当$v$不在$A$中出现时，返回特殊值NIL”

• C#语言实现

private static int LinearSearch(int[] array, int value)
{
	for(int i = 0; i < array.Length; i++)
	{
		if(array[i] == value)
		{
			return i;
		}
	}

	return -1;
}

• 证明

1. 循环不变式：在for循环的每次迭代开始时，子数组[1 … i - 1]由不同于$v$的元素组成。
2. 初始化：在第一次循环迭代(i=1)之前，子数组是空数组，所以证明循环不变式成立。
3. 保持：在每次循环迭代中，我们将$v$与$A[i]$进行比较。如果它们是相同的，我们返回$i$，这是正确的结果。否则，我们将继续进行循环的下一个迭代。在每次循环迭代结束时，我们知道子数组$A[1..i]$不包含$v$，所以循环不变性保持正确。为循环的下一次迭代增加$i$，然后保持循环不变。
4. 终止：当$i>A.length=n$时，循环结束。因为$i$已经被增加了1，所以此时$i$的值是$n+1$。此时，对应于循环不定式中的描述，我们有子数组$A[1..n]$由不同于$v$的元素组成。因此返回NIL。
   观察到$A[1\dots n]$，我们得出结论，整个数组没有任何等于$v$的元素，因此该算法是正确的。

2.1-4

考虑把两个$n$位二进制整数加起来的问题，这两个整数分别存储在两个$n$元数组$A$和$B$中。这两个整数的和应按二进制形式存储在一个（$n+1$）元数组C中。请给出该问题的形式化描述，并写出伪代码。

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答：

• 输入：一个布尔类型的数组$A=<a_1,a_2,...,a_n>$，以及另一个布尔类型的数组$B=<b_1,b_2,...,b_n>$。数组$A$和数组$B$均表示为一个整数的二进制表示（数组中的每一个元素是0或1，对应于二进制位中的对应数位），每一个数组的长度均是$n$。
• 输出：一个数组$C=<c_1,c_2,...,c_{n+1}>$。这个数组$C$表示的是$C^{\prime }=A^{\prime }+B^{\prime }$的结果，其中$A^{\prime }$表示数组$A$、‘B’‘表示数组$B$，而$C^{\prime }$表示数组’C’。

伪代码：

ADD-WITH-BINARY-BITS(A, B)
	C = new integer[A.length + 1]

	carry = 0
	for i = 1 to A.length
		temp = A[i] + B[i] + carry
		C[i] = temp % 2
		carry = temp / 2
	C[n + 1] = carry

	return C

c#代码：

static int[] AddWithBinaryBits(int[] A, int[] B)
{
	int[] result = new int[A.Length + 1];

	int carry = 0;
	for(int i = 0; i < A.Length; i++)
	{
		int temp = A[i] + B[i] + carry;
		result[i] = temp % 2;
		carry = temp / 2;
	}
	result[A.Length] = carry;

	return result;
}