最长公共子序列&最长公共子串

最长公共子序列

1、算法的定义

最长公共子序列（LCS）问题是分别给出长度为i和j的字符串想X，Y，然后找出其中最长公共子序列的最优值和最优解。

2、算法的理解

1）由于最长公共子序列问题属于动态规划问题，所以在求解的时候需要对其分析相关的状态，

       总结出状态转移方程。逆向思维从结果到过程的思考分析。

2）对于当前问题的状态分析如下

     
     
 假设LCS序列Z长度为k
     
     
当字符串X或者Y的长度为0时（I 或者j为0），LCS序列Z(k) = 0
     
     
当X(i)=Y(j)时, Z(k) = X(i)=Y(j) ，所以它们的最后一个字符是相等的。此时必然 会存在Z(k-1)∈X(i-1)   或者 Z(k-1)∈Y(j-1)，所以L[i. j] 与L[i-1，j-1]相差1， 即L[i， j] = L[i-1，j-1]+1
     
     
 当X(i) !=Y(j)时 Z(k) ∈X(m<=i) 或Z(k) ∈Y (n<=j)( m与n不相等)，此时的Z中的K值  必然存在于max{m，n}中。   根据以上信息得到：LCS([I, o] >= LCS[m , o]   和  LCS([o, j]>= LCS[o , n]。即：L[ i ，j] = max{ L[i-1 , j] , L[ I , j-1] }
     
     
 总结得到如下的状态转移方程

3、算法实现

4、实现解析

假设两个字符串A为”ABCBDAB” B为“BDCABA”，需要写的二维表为L[8][7]。

a)        第一个for循环填写表中第一列，初始值都为0；

b)        第二个for循环填写表中第一行，初始值都为0；

c)        接下来两个嵌套循环用于填表（ ==  或者 != 的情况）填表结果如下：L[7][6]为LCS的值。

*在获取所有符合当前LCS值得公共子序列时，需要记录利用回溯法，递归的遍历当前问题到子问题的路径。用一个track[8][7]数组记录

  所有公共子串：BDAB BCAB BCBA(主要看斜对角线上的值)

最长公共子串的求解：

1.   两个字符串的最长公共子串，这个子串要求在原字符串中是连续的。采用一个二维数组来存储中间结果。

2.   假设两个字符串分别是：A=”baba”和B=”caba”，i代表A字符串的当前位置， j代表B当前字符串的位置，当 == 时，对应的元素值为1 ，否则为0,。生成如下表：

3.  斜对角线上值为1的字符组成的字符串为公共子串，最长的为最长公共子串（aba）。

²  算法改进：

由于在搜索最长公共子串时需要花费大量的时间，所以当 == 时，对应的元素值为T[i-1][j-1]+1，否则为0。生成结果如下表：