6、信号与系统及傅里叶分析详解

信号与系统及傅里叶分析详解

1. 离散时间信号与系统基础

在离散时间信号与系统的研究中，有诸多重要的概念和问题需要探讨。

1.1 粒子数量问题

已知在(n = 0)时反应堆中有一个(\alpha)粒子，要求出(n)时刻反应堆内粒子的总数。设(\alpha(n))和(\beta(n))分别为(n)时刻反应堆内(\alpha)粒子和(\beta)粒子的数量，其行为可用一对耦合差分方程描述。为求解这些差分方程，需先将它们解耦，推导出关于(\beta(n))的单个差分方程(\beta(n)= 2\beta(n - 1) + 8\beta(n - 2))，其特征方程可得出齐次解。结合初始条件(\alpha(0) = 1)和(\beta(0) = 0)，可解得(\alpha(n) = \frac{1}{3}(4)^n + \frac{1}{3}(-2)^n)，(\beta(n)=\frac{1}{3}(4)^n - \frac{1}{3}(-2)^n) ，(n \geq 0)。

1.2 离散时间信号相关问题

• 周期性问题 ：对于线性移不变系统，若输入信号(x(n))周期为(N)，即(x(n) = x(n + N))，根据移不变性，输出(y(n) = y(n + N))，所以输出也周期为(N)；若系统是线性但移变的，输出不一定是周期性的；若系统是非线性但移不变的，输出是周期性的。
• 奇偶性与功率问题 ：若(x(n))为奇数，(y(n) = x^2(n))是偶数；若(x(n) = 0)（(n < 0)），(P_e)是(x(n))偶数部