树状数组基础知识

from: http://old.blog.edu.cn/user3/Newpoo/archives/2007/1712628.shtml

树状数组

树状数组是一个可以很高效的进行区间统计的数据结构。 当 要 频繁的对数组元素进行修改,同时又要频繁的查询数组内任一区间元素之和的时候,可以考虑使用树状数组.

树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，假设数组a[1..n]， 那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。
　 　来观察这个图：

　　令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

　　C1 = A1

　　C2 = A1 + A2
　　C3 = A3
　　C4 = A1 + A2 + A3 + A4
　　C5 = A5
　　C6 = A5 + A6
　　C7 = A7
　　C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
　　...
　　C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

 

 

 

假设a[1...N]为原数组,定义c[1...N]为对应的树状数组:

c[i] = a[i - 2^k + 1] + a[i - 2^k + 2] + ... + a[i]

其中k为i的二进制表示末尾0的个数,所以2^k即为i的二进制表示的最后一个1的权值.

所以2^k可以表示为n&(n^(n-1))或更简单的n&(-n):

 

int lowbit(int n)

{return n& (-n);}

 

对a[n]进行修改后,需要相应的修改c数组中的p₁ , p₂ , p₃ ...等一系列元素

其中p₁ = n,

       p_i+1 = p_i + lowbit(p_i )

所以修改原数组中的第n个元素可以实现为:

void Modify(int n, int delta)

{

    while(n <= N)

    { c[n] += delta; n += lowbit(n);}

}

 

当要查询a[1],a[2]...a[n]的元素之和时,需要累加c数组中的q₁ , q₂ , q₃ ...等一系列元素

其中q₁  = n,

       q_i+1 = q_i  - lowbit(q_i )

所以计算a[1] + a[2] + .. a[n]可以实现为:

int Sum(int n)

{

     int result = 0;

     while(n != 0)

     { result += c[n]; n -= lowbit(n); }

    return result;

}

    树状数组的最基本功能就是求比某点x小的点的个数(这里的比较是抽象的概念，可以使数的大小，坐标的大小，质量的大小等)。

       比如给定个数组a[5] = {2, 5, 3, 4, 1}，求b[i] = 位置i左边小于等于a[i]的数的个数.如b[5] = {0, 1, 1, 2, 0}，这是最正统的树状数组的应用，直接遍历遍数组，每个位置先求出Getsum(a[i])，然后再修改树状数组Update(a[i], 1)即可。当数的范围比较大时需要进行离散化，即先排个序，再重新编号。如a[] = {10000000, 10, 2000, 20, 300}，那么离散化后a[] = {5, 1, 4, 2, 3}。

       但我们想个问题，如果要求b[i] = 位置i左边大于等于a[i]的数的个数呢？当然我们可以离散化时倒过来编号，但有没有更直接的方法呢?答案是有。几乎所有教程上树状数组的三个函数都是那样写的，但我们可以想想问啥修改就是x不断增加，求和就是x不断减少，我们是否可以反过来呢，答案是肯定的。

 

这时候，我们要改变一下树状数组的构成,仍以开始的例子说明：

C[i]=a[i]+a[i+1]+...+a[i+2^k-1]。

比如：

C1=a1

C2=a2+a3

C3=a3

C4=a4+a5+a6+a7

C5=a5

C6=a6+a7

C7=a7

C8=a8

这时候，数组C[i]中保存的是从i开始到i+2^k-1位置的元素之和。这时对a[n]进行修改后,需要相应的修改c数组中的p₁ , p₂ , p₃ ...等一系列元素

其中p₁ = x,

       p_i+1 = p_i - lowbit(p_i )

当要查询a[1],a[2]...a[n]的元素之和时,需要累加c数组中的q₁ , q₂ , q₃ ...等一系列元素

其中q₁  = x,

       q_i+1 = q_i  + lowbit(q_i )

void Update(int x, int c)
{
    int i;
    for (i = x; i >= 1; i -= Lowbit(i))
    {
        tree[i] += c;
    }
}

int Getsum(int x)
{
    int i;
    int temp(0);
    for (i = x; i < maxn; i += Lowbit(i))
    {
        temp += tree[i];
    }
    return temp;
}
       我们只是将两个函数中的循环语句调换了下，现在每次要修改点ｘ的值，就要修改(1, …x-Lowbit(x-Lowbit(x))), x-Lowbit(x), x)路径，而求和就变成求(x, x+Lowbit(x), x+Lowbit(x+Lowbit(x))),…)这条路径的点。而这不正好就是大于等于x的点的求和吗？

       所以我们既可以修改x增大的路，求和x减小的路；也可以修改x减小的路，求和x增大的路，根据题目的需要来决定用哪种。

---

---

树状数组可以扩充到二维。在二维情况下:

C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中，
x-lowbit(x) + 1 <= i <= x,
y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.

在二维情况下，对应的更新和查询函数为：

void Modify(int x, int y, int delta)

{
    for(int i = x; i <= N; i += lowbit(i))
       for(int j = y; j <= N; j += lowbit(i))
          C[x][y] += delta;

}

int Sum(int i, int j)
{
    int result = 0;
    for(int x = i; x > 0; x -= lowerbit(x))
    {
        for(int y = j; y > 0; y -= lowerbit(y))
        {
            result += C[x][y];
        }
    }

    return result;
}

---

---

树状数组可以解决更新线段区间，查询某个点的问题。
在这种情况下，更新线段区间和查询点的时间复杂度仍然为O(logn).

设A[1,N]为我们要处理的数组。
另外设置一个数组B[1,N]，使得B[1] + B[2] + .. B[i] = A[i], 其中1 <= i <= N.

即B[i] = A[i] - A[i-1]

当要查询A[i]的时候，我们只需在数组B上使用一般的树状数组操作查询区间[1,i]即可
当我们要给区间A[a~b]加上delta时，只需要在数组B上对B[a]进行一般树状数组的更新delta的操作，同时对数组B上对B[b+1]进行 - delta操作。

这种使用方式同样可以扩展到二维。
二维情况下，
B[i][j] = A[i][j] - A[i-1][j] - A[i][j-1]
当要查询A[i][j]的时候，只需在数组B上查询B[0][0]到B[i][j]的和即可。
当 要给矩形A[x1][y1],A[x2][y2]加上delta的时候，只需要在数组B上对B[x1][y1], [x2+1][y2+1]进行一般树状数组的更新delta的操作，同时对B[x1][y2+1], B[x2+1][y1]进行一般树状数组的更新-delta的操作即可