证明 EXACT 4SAT是NP完全问题

题目

In the EXACT 4SAT problem, the input is a set of clauses, each of which is a disjunction of exactly four literals,  and such that each variable occurs at most once in each clause. The goal is to find a satisfying assignment, if one exists. Prove that EXACT 4SAT is NP-complete. (算法概论-注释版 习题 8.8)

证明

首先，显然EXACT 4SAT属于NP问题。

接下来，将3SAT (3SAT属于NP-完全问题) 归约到EXACT 4SAT来证明其为NP-完全问题。

对于任意的一个3SAT实例，如果其中某个句子包含了同一个变量多次，则可以将该变量减少为一次。如果包含了某个变量的肯定以及否定，则可以将该变量去掉。

然后给该变量添加一些辅助变量，将该句子包含的变量个数扩充到4个。

此时，我们就将3SAT归约到了EXACT 4SAT，由于3SAT是NP-完全问题，因此EXACT 4SAT也是NP-完全问题。