更相减损法

定义：

更相减损法原本是为了约分而设计的：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

1：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。

若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

2：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。

继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

 

第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数，相当于不要第一步。

换成公式的写法：

如果A > B，则 gcd(A,B) = gcd(B,A-B)

如果A < B，则 gcd(A,B) = gcd(A,B-A)

 

证明：

不妨设A>B，设A和B的最大公约数为X，所以 A=aX，B=bx，其中a和b都为正整数，切a>b。

C = A-B，则有C=aX−bX=(a−b)X

 

因为a和b均为正整数，所以C也能被X整除，即A、B、C最大公约数均为X

所以gcd(A,B) = gcd(B,A-B)

 

代码实现：

 

int GCD(int a, int b) {

    while (a != b) {

        if (a > b)

            a = a - b;

        else

            b = b - a;

    }

    return a;

}