中级篇——背包问题1（01背包）

最新推荐文章于 2024-01-17 19:42:13 发布

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本文详细解析了01背包问题的解决方法，介绍了如何通过动态规划算法求解最大价值，并给出了具体的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

N件物品，没见有重量Wi，价值Vi；选其中几件放入容量为M的背包中，求价值的最值。——经典背包问题

背包问题分三类：1.01背包：每件物品仅一件，可以不将背包装满（要么取0件要么1件）

2.完全背包：每件物品无限件，可以不将背包装满。

3.多重背包：每件物品可一定数量件，可不将背包装满。

此片详解01背包。

建一个N*（M+1）的数组dp[N][M]，物品从第一个开始遍历依次装入背包。

关键公式：dp [ i ] [ j ] = max / min ( dp [ i - 1 ] [ j ] , dp[ i - 1 ] [ j - W[ i ] ] + V [ i ] ) ;

典例：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

题意：可理解为背包问题，一共n样物品各有其重量w[ i ]和价值v[ i ]，给出背包容量m求出背包所容最大的价值。

分析：每件物品放入或不放入背包，若不放入背包，则dp[ i ] [ j ]的值即为dp[ i - 1 ] [ j ]。若是放入背包，则需要在当重量为 j - w[ i ] 的基础上加入物品 i，价值也应是在dp[ i ] [ j - w [ i ] ] 的值上再加上物品 i 的价值v [ i ] ，其价值即为dp[ i - 1 ] [ j - w[ i ] ]+ v[ i ] 。再取两个之中的较大者即得到最优解。

代码实现：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
int w[1005],v[1005],dp[1005][1005];
int main()
{
    int T,n,m;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m;
        //注意先输入价值！因为这个WA好几次
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cin>>v[i];
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cin>>w[i];
        memset(dp,0,sizeof(dp));//dp数组初始化
        for(int i=1;i<=n;i++)   //物品从第一个开始遍历
        {
            for(int j=0;j<=m;j++)//质量从0开始，数据有重量为0，价值不为零的情况
            {
                //能装下w[i]时，比较dp[i-1][j]和dp[i-1][j-w[i]]+v[i]
                if(w[i]<=j) {dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);}
                //装不下则dp[i][j]=dp[i-1][j]
                else dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }
        }
        cout<<dp[n][m]<<endl;
    }
    return 0;
}

相关例题：hdu 1203 2159 2955 1171 2191