概率与统计试题

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#算法

于 2014-03-30 22:18:08 首次发布

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题目1: 阿里2022.0407场算法在线笔试, 单选第4题

问: 牛牛群里聊天的时候，总会有人说“停停”("ting ting"),但是有的人却想表达的意思是"搞快点"("gkd")。也就是说如果一个人说 "ting ting" 他可能表达的意思有两种："ting ting" 和 "gkd", 同理连续三个“ting”组成的 "ting ting ting" 则有三种含义："ting gkd", "ting ting ting", "gkd ting"。四个"ting以此类推。若4l6 个"ting" 相连有 x 种含义，则 x mod 10 的值为多少?

解法一: 可用斐波那契数列的递推规律去解. f(n) = f(n-1)+f(n-2), 解释为 n 个 "ting"(以下简称单词) 的不同含义数，等于固定第一个单词，后续 n-1 个单词的含义数 + 合并前两个单词为 "gkd"，后续 n-2 个单词的含义数。由于无法手动算，需借助编程，递归去解。此时复杂度依旧很高，可引入记忆数组，此时秒解。还需注意数值溢出，考虑到题目要求，计算过程中也可只保留个位数。py代码见下。

ans = [0] * 500

def f(n: int) -> int:
    if n <= 3:
        return n
    if ans[n] == 0:
        ans[n] = f(n - 1) + f(n - 2)
        # 数值太大防止溢出
        ans[n] = ans[n] % 10
    return ans[n]

print(f(416))

解法二：用排列组合的思路去解。 $f(n)=C_n^0+C_{n-1}^1+C_{n-2}^2+C_{n-3}^3+... \ = \Sigma C_{n-i}^i$ ，解释为有0个 "gkd"，1个"gkd"，2个"gkd" ，等等，以此类推的结果的加和。这个有没有个位数的什么规律，手动能不能求解，还不确定，但代码一定可以秒解，见下.

def f2(n: int) -> int:
    from scipy.special import comb, perm
    ans = 0
    for i in range(0, n):
        if i <= n - i:
            ans += comb(n - i, i, exact=True)
            ans = ans%10
    return ans

题目2: 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%,而机器发生某一故障时,产品的合格率为55%,每天早上机器开动时,机器调整达良好的概率为95%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整达良好的概率是多少？

答：设事件A：产品合格；B:机器调整良好。已知P(A|B)=0.98,P(A|B的逆)0.55，P(B)=0.95。

求P(B|A)。

P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(A|B)P(B)/[P(A|B)P(B)+P(A|B的逆)P(B的逆)]=0.97。

此题为贝叶斯公式的应用。

题目3: 阿里2022.0407场算法在线笔试, 单选第1题

问: 已知进入某商场的男性和女性中，45%的女性和15%的男性会进行消费，随机挑选一人，这个人进行了消费，则这个人是男性的概率是__? 假设进入该商场的男性和女性比例为 1:4.

答: P(Male | buy)
= P(M*buy) / P(buy)
= p(M)p(buy|M)/p(buy)
= 0.2*0.15/(0.8*.45+0.2*0.15)
= 0.0769

题目4: 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，其中有3名优等生。问：

（1）每班各分配到一名优等生的概率；

（2）这三人被分配到同一班中的概率。

题目5：阿里2014春，实习生招聘笔试

问：现有三个包，甲包两个白球，乙包两个黑球，丙包一白一黑。现随机从一个包中随机挑一个球，为白色。问再从此包中拿一个球仍为白色的概率是多少？

答：

再从此包中拿一个球仍为白色，意味着所选的包是甲包。

事件A：所挑的包为甲包；

事件B：随机从一个包中随机挑一个球，为白色。

P(A)=1/3,P(B)=(1/3)*1+(1/3)*(1/2)=1/2;

所求为P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(B|A)*P(A)/P(B)=1*(1/3)/(1/2)=0.66。

此题考查条件概率，贝叶斯公式。

题目6: n个不同元素顺序入栈，共有多少种不同的出栈序列？
答:设入栈动作为0，出栈动作为1。一个入栈动作必然对应这一个出栈动作，n个元素的入栈和出栈就是n个0和n个1的排列。
我们需要求出可行的入出栈排列。故该问题可划归为：
n个0和n个1的排列，在任意位置之前，0的个数不少于1的个数。
卡塔兰数公式