蓄水池抽样

背景：从n个元素中随机抽取k个元素，但n的个数无法事先确定。在实际应用中，往往会遇到很大数据流的情况。因此，我们无法先保存整个数据流然后再从中选取，而是期望有一种将数据流遍历一遍就得到所选取的元素，并且保证得到的元素是随机的算法。

问题：在时间复杂度为O(n)下对大批量甚至未知大小的数据（N）等概率随机抽取k个数。

抽样过程：顺序遍历数据N，遍历的前k个数据抽取出放入容量为k的“蓄水池”（称之为K），从第k+i（i>0）数据开始，以k/(k+i)的概率选择该数据并等概率随机替换K中元素。直到遍历结束。

先不多说，撸一串代码（从0到999这一千个整数随机抽取10个）：

def sampling(k=10, N=np.arange(1000)):
    fetch = N[:k]
    for i in range(k, len(N)):
        rand = random.randint(0, i)
        if rand < k:
            fetch[rand] = N[i]
    print fetch
    return fetch

理解：

1、遍历的前k个元素直接选中抽样；

2、第k+1个元素：

（1）抽样的概率为k/(k+1)，不抽样的概率为1/(k+1)；

（2）对于前k个元素（如某元素x），x被抽样的概率为第k+1元素不被抽样的概率（1/(k+1)）加上k+1元素被抽样且元素x不被选中替换的概率[k/(k+1)]*[(k-1)/k]：

3、第m个元素（m>k+1）:

（1）抽样的概率为k/m，不抽样的概率为(m-k)/m；

（2）对于前k个元素（如某元素x），x被抽样概率为上一轮x已被抽样且第m元素不被抽样概率（[k/(m-1)]*[(m-k)/m]）加上 第m元素被抽样且上一轮x已被抽样且此轮不被选中替换的概率(k/m)*[k/(m-1)]*[(k-1)/k]：