最长上升子序列

Problem Description

一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1<= i1 < i2 < … < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8)。
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

Input

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

Output

最长上升子序列的长度。

Example Input

7
1 7 3 5 9 4 8

Example Output

4

题解

一个序列有N个数，a[1]–a[n]要求出最长上升子序列。
首先我们要找出一个“状态”来代表它的子问题。在大部分情况下，某个状态只与它前面出现的状态有关，而独立于后面的状态。
我们可以用一个数组d[i]来记录a[i]结尾上升子序列的长度，d[i]就是要找的状态，然后把d[1]到d[n]都找出来，其中最大的即为所求解。
接下来找状态转移方程：
比如序列 5 3 4 8 6 7
前一个数的长度 d[1] = 1;(序列为5)
前两个数的长度 d[2] = 1;(序列为3)
前三个数的长度 d[3] = 2;(序列为3 4 4前面有个比它小的数3， d[3] = d[2] + 1;)
前四个数的长度 d[4] = 3;(序列为3 4 8 而8前面比它小的有三个数，所以d[4] = max(d[1],d[2],d[3])+1; )
之后的也都一样处理。
如果已经求出d[1]与d[i-1]，那么d[i] 可以由他们得到，即：d[i] = max(1，d[j]+1);其中 a[j] <= a[i]&&j<=i;
首先要讲d[i]数组初始化为1，因为每次之间互不联系，且就算没有长的，最短也为1。

AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int n,i,j;
    int Max = 1;
    int a[1005],d[1005];
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
        d[i]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
        //找出前几个里面最大的
            if(a[j]<a[i]&&d[j]+1>d[i])
                d[i] = d[j]+1;
        }
        if(d[i] > Max)
            Max = d[i];
    }
    printf("%d\n",Max);
    return 0;
}