图论（16）匈牙利算法与最优匹配算法

最新推荐文章于 2025-10-06 10:57:04 发布
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本文深入探讨了匈牙利算法与库恩算法在偶图完美匹配及最优匹配中的应用，通过实例讲解了M交错树的构建，以及如何通过顶点标号和相等子图找到最优解。

目录

（一）匈牙利算法

M交错树

匈牙利算法-偶图完美匹配算法

偶图中找最大匹配

（二）、最优匹配算法-库恩算法

可行顶点标号

相等子图

定理及其证明要求掌握

例题：

（一）匈牙利算法

扎根于M非饱和点u,即以u为树根来构造M交错树，u是偶图中X点集中的点

M交错树

以非饱和点为根节点的树

S是M交错树上的属于点集X的点的集合，T是M交错树上的属于点集Y上的点的集合。

在情形1的时候，可以看到除了点u外，其他点是配对的，即一个X中的点，连上一个Y中的点。所以T包含于S的邻点集合。

不是因为多了一个u，而是因为树上属于X的点的邻点除了在T中有，可能还有一部分不在T中，但T中的点肯定在S的邻点集合中

这里再看看Hall定理

当邻点集合严格小于子集中元素个数，则偶图中不存在饱和每个顶点的匹配，即不存在完美匹配

两种情况都有xy不属于匹配M，第一种情况，因为u是非饱和点，所以uy不属于匹配M，第二种情况，因为匹配中的边不能有公共的顶点，所以xy也不属于匹配M

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