狄利克雷过程（dirichlet process ）和分布

狄利克雷过程（dirichlet process ）是目前变参数学习（non parameter）非常流行的一个理论，很多的工作都是基于这个理论来进行的，如HDP（hierarchical dirichlet process）。

下面我们谈谈dirichlet process的五种角度来理解它。

第一种：原始定义：假设存在在度量空间 Θ 上的分布 H 和一个参数 α ，如果对于度量空间 Θ 的任意一个可数划分（可以是有限或者无限的） A1,A2,...,An ，都有下列式子成立：

(G(A1),G(A2),...,G(An))∼Dir(αH(A1),αH(A2),...,αH(An)) ,  这里Dir是dirichlet 分布，

我们称G是满足Dirichlet process的。

这个定义是1973年Ferguson最早提出的定义。在有了这个定义之后，我们怎么去构造一个dirichlet process（DP）出来呢？或者如果我们想从这个DP中抽取出一些样本，怎么抽呢？由于这个原因，我们有了下面三种构造性定义或者解释： 中国餐馆过程（CRP)，polya urn ，stick-breaking。

第二种：中国餐馆过程（CRP）

假设一个中国餐馆有无限的桌子，第一个顾客到来之后坐在第一张桌子上。第二个顾客来到可以选择坐在第一张桌子上，也可以选择坐在一张新的桌子上，假设第 n＋1 个顾客到来的时候，已经有 k 张桌子上有顾客了，分别坐了 n1,n2,...,nk 个顾客，那么第 n＋1 个顾客可以以概率为 ni/(α+n) 坐在第 i 张桌子上， ni 为第 i 张桌子上的顾客数；同时有概率为 α/(α+n) 选取一张新的桌子坐下。那么在 n 个顾客坐定之后，很显然CRP把这 n 个顾客分为了 K 个堆，即 K 个clusters，可以证明CRP就是一个DP。

注意这里有一个限制，每张桌子上只能有同一个dish，即一桌人喜欢吃同一道菜。

第三种：Polya urn模型

假设我们有一个缸，里面没有球，现在我们从一个分布H中选取一种颜色，然后把这种颜色涂在一个球上放入缸中；然后我们要么从缸中抽取一个球出来，然后再放入两个和这个球同种颜色的球进入缸中；要么就从分布H中选取一个颜色，然后把这种颜色涂在一个球上放入缸中。从缸中抽取某种颜色的一个球的概率是 ni/(α+n) ， ni 是这种颜色的球的个数，n是总的球个数；不从缸中抽取而放入一种颜色的球的概率是 α/(α+n) 。很明显，polya urn模型和CRP有一一对应的关系，颜色对应一个桌子，坐新桌子对应于不从缸中选取而是从H中选取一种颜色涂球放入缸中。

第四种：stick-breaking模型

假设有一个长度为1的线段，我们从中选取  π1  长出来，剩下的部分再选取  π2  出来，循环下去， πn  ，无穷下去，这个有点类似我们古代的一句话：

“一尺之踵，日取其半，万世不竭”，它们满足 ∑πi=1

对每个  πi  ，我们都从分布H中选取一个 θi ，然后从 F(θi) 中选取出一个 xi 出来。这里的  θi  就对应一个cluster，类似地，我们可以看到数据自然地被分为了各个堆，可以证明这个模型仍然是一个DP。

第五种：无限混合模型

从stick－breaking模型我们看出，我们可以把DP看着是一个无限混合模型，即

G∼∑inf1πi∗F(θi) ，其中 ∑πi＝1 。 πi  就是混合模型中每个子模型的权重。

目前应用最多的还是从第五种角度来看待问题，即把DP看着是一个无限混合模型，其中值得注意的是：

1）虽然DP是一个无限混合模型，但是可以证明，随着数据的增多，模型的个数是呈现log 增加的，即模型的个数的增长是比数据的增长要缓慢得多的；

2）DP是有一个马太效应在里面的，即越富裕的人越来越富裕，我们可以从第二和第三种解释中看到，每个桌子或者颜色已经有的数据越多，那么下一次被选中的概率越大，因为是与在桌子上的个数成正比的。

DP是一个复杂的随机过程，需要进一步深入理解，下篇将会继续这个话题。

转载：http://blog.youkuaiyun.com/xianlingmao/article/details/7342837

Dirichlet distribution，对于做主题模型（topic model）研究特别的重要，因为很多模型之中都需要它作为先验分布。

本来这个分布Wikipedia和大多数的教科书已经讲得非常清楚，没有必要在这里多介绍，但是最近在理解Dirichlet process过程中，发现从另外一个角度来理解Dirichlet Distribution，对于理解Dirichlet Process有一定的帮助，特此介绍如下。

传统的Dirichlet Distribution的形式：

P(x1,x2,...,xk|α1,α2,...,αk)∝∏k1(xi)(αi−1)

Dirichlet Distribution是分布的分布，其中 ∑xi=1 。

另外一种形式：

P(x1,x2,...,xk|α,M)∝∏k1(xi)(α∗Mi−1)

其中， ∑Mi=1 。从而M可以看做一个分布。可以记为： P∼Dir(α,M)

下面我们来看看Dirichlet process的定义：

对于一个空间，已经有一个分布M，和一个正实数 α ，如果对于该空间的任意可数划分 A1,A2,...,An ，都有

(G(A1),G(A2),...,G(An))∼Dir(α∗M(A1),α∗M(A2),...,α∗M(An))=Dir(α,M)

其中，Dir是一个dirichlet distribution, M是[M(A1), M(A2), ..., M(An)]的概率向量。我们就称G是一个Dirichlet Process。

注意观察这个定义与Dirichlet Distribution的第二种形式的异同，Dirichlet distribution描述了空间上的一种划分情况下的分布，而Dirichlet Process描述了整个空间上的所有划分的情况下的分布情况，M是人们对于分布的主观看法，而 α 就是描述如果抽样的话，会多好地接近分布M。即M是Base Distribution， α 是精度。

这样，我们就可以把Dirichlet Distribution和Dirichlet process更加统一地来看待，同时加深我们对于它们的理解。