牛客小白月赛14 B投硬币（组合数）

最新推荐文章于 2024-09-10 19:26:26 发布

YOONGI

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分类专栏：牛客组合数快速幂 | 矩阵快速幂

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本文解析了一个动态规划(DP)题目，求解在给定成功概率下，进行n次尝试后至少有k次成功的概率。使用二项分布公式，通过组合数学和乘法逆元计算模998244353下的结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/879/B
来源：牛客网

你在练习 dp，你每一次会有 p 的概率成功，1-p 的概率失败
求投 n 次后，至少有 k 次成功的概率

答案模 998244353，其中 0≤k,n≤105,0≤p<9982443530≤k,n≤105,0≤p<998244353

实际上给你的这个概率是在模 998244353 意义下的，换句说 p≡ab(mod998244353)p≡ab(mod998244353)

输入描述:

第一行三个整数 n,k,p

输出描述:

一行一个整数表示答案对 998244353 取模的结果

示例1

输入

复制

34 21 56

输出

复制

345738771

思路：二项分布，符合n重伯努利试验，有 i 次成功概率的公式：C( n ,i ) * p^i * (1-p) ^ (n-i) $∑ n i = k ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i$

至少k次成功的公式： $∑ n i = k ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i$ ∑ (i=k,n) C( n ,i ) * p^i * (1-p) ^ (n-i) $∑ n i = k ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i$ 用组合数学求出公式的值

乘法逆元：(a/b)%mod=a*(b^(mod-2))%mod mod为素数

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1e5+5;
const ll mod=998244353;
ll n,k,p;
ll a[N+5];
void init()
{
    a[0]=1;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        a[i]=(a[i-1]*i)%mod;
}
ll power(ll a,ll b,ll c)
{
    ll ans=1;
    a=a%c;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%c;
        b>>=1;
        a=a*a%c;
    }
    return ans%c;
}
ll C(ll n,ll m)
{
    if(n<m) return 0;
    ll ans=1;
    ans=ans*a[n]%mod;
    ans=ans*power(a[m],mod-2,mod)%mod;
    ans=ans*power(a[n-m],mod-2,mod)%mod;
    return ans;
}
int main()
{
    init();
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&p))
    {
        ll ans=0;
        for(ll i=k;i<=n;i++)
            ans=(ans+C(n,i)*power(p,i,mod)%mod*power(1-p+mod,n-i,mod)%mod)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}