二分图

二分图定义：

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。

785. 判断二分图

题目
对于图中的任意两个节点 u 和 v，如果它们之间有一条边直接相连，那么 u 和 v 必须属于不同的集合。

如果给定的无向图连通，那么我们就可以任选一个节点开始，给它染成红色。随后我们对整个图进行遍历，将该节点直接相连的所有节点染成绿色，表示这些节点不能与起始节点属于同一个集合。我们再将这些绿色节点直接相连的所有节点染成红色，以此类推，直到无向图中的每个节点均被染色。

如果我们能够成功染色，那么红色和绿色的节点各属于一个集合，这个无向图就是一个二分图；如果我们未能成功染色，即在染色的过程中，某一时刻访问到了一个已经染色的节点，并且它的颜色与我们将要给它染上的颜色不相同，也就说明这个无向图不是一个二分图。

算法的流程如下：

• 我们任选一个节点开始，将其染成红色，并从该节点开始对整个无向图进行遍历；
• 在遍历的过程中，如果我们通过节点 u 遍历到了节点 v（即 uu 和 vv 在图中有一条边直接相连），那么会有两种情况：
  如果 v 未被染色，那么我们将其染成与 u不同的颜色，并对 v 直接相连的节点进行遍历；
  如果 v 被染色，并且颜色与 u 相同，那么说明给定的无向图不是二分图。我们可以直接退出遍历并返回False 作为答案。
• 当遍历结束时，说明给定的无向图是二分图，返回 True 作为答案。

可以使用「深度优先搜索」或「广度优先搜索」对无向图进行遍历，下文分别给出了这两种搜索对应的代码。

注意：题目中给定的无向图不一定保证连通，因此我们需要进行多次遍历，直到每一个节点都被染色，或确定答案为False 为止。每次遍历开始时，我们任选一个未被染色的节点，将所有与该节点直接或间接相连的节点进行染色。

方法一： DFS

class Solution {
private:
    bool valid;
    vector<int> color;
    int UNCOLORED=0;
    int RED=1;
    int GREEN=2;
public:
    bool isBipartite(vector<vector<int>>& graph) {
        int n=graph.size();
        valid=true;
        color.assign(n,UNCOLORED);
        for(int i=0;i<n&&valid;i++){
            if(color[i]==UNCOLORED){
                dfs(i,RED,graph);
            }
        }
        return valid;
    }
    void dfs(int x,int COLOR,vector<vector<int>> &graph){
        color[x]=COLOR;
        int cNei=(COLOR==RED?GREEN:RED);
        for(int nei:graph[x]){
            if(color[nei]==UNCOLORED) {
                dfs(nei,cNei,graph);
                if(!valid){
                    return;
                }
            }else if(color[nei]!=cNei){
                valid=false;
                return;
            }
        }
    }
};

方法二：BFS

class Solution {
private:
    vector<int> color;
    int UNCOLORED=0;
    int RED=1;
    int GREEN=2;
public:
    bool isBipartite(vector<vector<int>>& graph) {
        int n=graph.size();
        color.assign(n,UNCOLORED);
        for(int i=0;i<n;i++){
            if(color[i]==UNCOLORED){
                queue<int> qn;                
                qn.push(i);
                color[i]=RED;
                while(!qn.empty()){
                    int k=qn.front();qn.pop();
                    int cNei=(color[k]==RED?GREEN:RED);
                    for(int nei:graph[k]){
                        if(color[nei]==UNCOLORED){
                            qn.push(nei);
                            color[nei]=cNei;
                        }else if(color[nei]!=cNei){
                            return false;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return true;
    }
};