数学期望-方差-协方差

1.期望=means=平均值

常用的求法: 求数据的总和除以总数,得到期望(means)。


2.概率论的定义

其实上面的数据出现的概率都是均匀的,为1/n 。 通用的定义:

试验中每次可能结果的概率f(x), 或pk 乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小

连续性:

离散型:

或:


3. 协方差: 随机<变量X 和均值的差 的平方的均值 

(均)方差

1. 求差

2. 对差求平方,

3.再求均值(期望)E 表达式在最后

### 马科维茨均值-方差模型的数学推导 马科维茨均值-方差模型的核心在于通过优化投资组合中的权重 $ w_i $ 来实现风险最小化的同时满足一定的收益目标。以下是该模型的具体数学推导过程: #### 1. 投资组合的风险表示 对于由 $ N $ 种资产组成的投资组合,其总风险可以用协方差矩阵来描述。设每种资产的权重为 $ w_i $ ($ i = 1, 2, ..., N $),则投资组合的总体风险(方差)可写成如下形式: $$ \sigma^2(R_p) = \sum_{i=1}^{N} w_i^2 \sigma^2(R_i) + \sum_{i \neq j} w_i w_j \sigma(R_i, R_j) $$ 其中: - $ \sigma^2(R_i) $ 是第 $ i $ 种资产的方差- $ \sigma(R_i, R_j) $ 是第 $ i $ 和第 $ j $ 资产之间的协方差。 上述表达式可以通过向量和矩阵的形式进一步简化为: $$ \sigma^2(R_p) = w^\top \Sigma w $$ 这里: - $ w = [w_1, w_2, ..., w_N]^\top $ 表示权重向量; - $ \Sigma $ 是 $ N \times N $ 的协方差矩阵[^4]。 #### 2. 收益约束条件 为了使投资组合达到特定的目标收益率 $ \overline{R}_p $,需引入以下约束条件: $$ \overline{R}_p = \sum_{i=1}^{N} w_i E(R_i) $$ 或者用向量形式表示为: $$ \overline{R}_p = w^\top \mu $$ 其中 $ \mu = [E(R_1), E(R_2), ..., E(R_N)]^\top $ 是期望收益率向量。 此外,还需满足权重之和等于1的归一化条件: $$ \sum_{i=1}^{N} w_i = 1 \quad 或者 \quad \mathbf{1}^\top w = 1 $$ 这里的 $ \mathbf{1} $ 是一个长度为 $ N $ 的全1列向量。 #### 3. 最优投资组合问题建模 综合以上两点,最优投资组合问题可以表述为以下二次规划问题: $$ \min_w w^\top \Sigma w $$ 受制于两个主要约束条件: 1. $ w^\top \mu = \overline{R}_p $ 2. $ \mathbf{1}^\top w = 1 $ 这是一个典型的带等式约束的凸优化问题,可通过拉格朗日乘子法解决。 #### 4. 使用拉格朗日乘子法求解 定义拉格朗日函数为: $$ L(w, \lambda_1, \lambda_2) = w^\top \Sigma w - \lambda_1 (w^\top \mu - \overline{R}_p) - \lambda_2 (\mathbf{1}^\top w - 1) $$ 对 $ L $ 关于 $ w $、$ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $ 分别取偏导并令其为零,得到一组必要条件: $$ \frac{\partial L}{\partial w} = 2\Sigma w - \lambda_1 \mu - \lambda_2 \mathbf{1} = 0 $$ $$ \frac{\partial L}{\partial \lambda_1} = -(w^\top \mu - \overline{R}_p) = 0 $$ $$ \frac{\partial L}{\partial \lambda_2} = -(\mathbf{1}^\top w - 1) = 0 $$ 由此得出三个关键方程: 1. $ \Sigma w = \frac{\lambda_1}{2} \mu + \frac{\lambda_2}{2} \mathbf{1} $ 2. $ w^\top \mu = \overline{R}_p $ 3. $ \mathbf{1}^\top w = 1 $ 这些方程联立起来即可求得最优权重 $ w $ 及对应的参数 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $。 --- ### MATLAB 实现示例 MATLAB 提供了一个名为 `portcons` 的工具箱用于构建投资组合约束,并结合其他优化算法完成实际应用。下面是一个简单的代码示例展示如何利用 MATLAB 解决这一问题: ```matlab % 参数设置 Mu = [0.12; 0.18]; % 各资产的期望收益率 Sigma = [0.2 0.1; 0.1 0.3]; % 协方差矩阵 TargetReturn = 0.15; % 目标收益率 % 构造约束矩阵 Aeq 和 beq Aeq = [Mu', ones(1, length(Mu))]; % 均值与单位向量构成的约束 beq = [TargetReturn, 1]; % 初始化优化器 f = zeros(length(Mu), 1); % 定义目标函数系数 H = Sigma; % 求解二次规划问题 [w, ~] = quadprog(H, f, [], [], Aeq, beq); disp('最优权重:'); disp(w); ``` 此代码实现了基于给定目标收益率寻找最优权重的过程。 ---
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