【高等数学】-正定性，正定函数 定义， 正定矩阵，正定二次型函数

最新推荐文章于 2025-08-21 15:08:29 发布
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本文深入探讨了李雅普诺夫稳定性的基本定理，并讲解了如何通过矩阵的正定性判断系统的稳定性。介绍了正定二次型的概念，以及利用行列式和特征值进行判断的方法。

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李雅普诺夫稳定性的基本定理

 

矩阵正定：

参考：百科“正定二次型"xT*M*x, x 为1*n 列向量， M 是n*n型

通过行列式“顺序主子式(行列式）全部>0”来简单判断

复杂的可以通过特征值。

 

证明：一个函数是正定的等价于它的傅里叶变换是正的 ——Bochner
m0_61568308的博客
03-10 2070
1.定理解释 首先，函数正定的定义为：对于函数f(x)f(x)f(x)，∀n,∀t1,t2,...,tn\forall n,\forall t_1,t_2,...,t_n∀n,∀t1​,t2​,...,tn​，f(ti−tj)f(t_i-t_j)f(ti​−tj​)所组成的矩阵是正定的。其中f(ti−tj)f(t_i-t_j)f(ti​−tj​)为矩阵第iii行第jjj个元素。 ​ 这里，为了方便阅读给出矩阵的正定的定义：对于一个n×nn\times nn×n的实对称矩阵RRR，任取长度为nnn的非0的向量
MATLAB -对称正定矩阵
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10-07 9584
1 正定矩阵 设二次型，是对称矩阵，如果对任何，都有（显然），则称为正定二次型，并称对称矩阵是正定的[1]。 2 MATLAB随机生成正定矩阵 1）用随机函数生成对称正定矩阵 rand(m,n)：随机生成每个元素在0~1之间的m行n列的矩阵。 M=diag(rand(N,1)); Z=orth(rand(N,N)); A=Z'*M*Z; % ...
正定函数
hellocsz的博客
06-25 9240
 正定函数  zhengding hanshu正定函数positive definite function   指实轴上定义的满足如下条件的连续函数：　　　 [835-05]这里“正定”名称来源于正定矩阵。事实上,式(1)等价于说,对一切与一切点列[835-06],复数矩阵[835-7][835-07]是一个正定矩阵（严格地说是半正定矩阵）。　正定函数概念的提出晚于它的一个同类，即所谓正定序列。O...
Lyapunov
ohhjack的博客
04-21 7148
取第一个值，则u(k)=-[2.459 12.5106]x(k)求特征值的模，可知特征值在单位圆内，系统稳定。3、根据Lyapunov求解可知闭环系统矩阵。2、利用dlqr求解最优反馈矩阵K。5、求解特征值，判断系统是否稳定。4、求解闭环系统矩阵Acl。6、求解Lyapunov方程。7、求解反馈矩阵Kmpc。
正定函数、半正定函数、负定函数和半负定函数
李宏宗的博客
11-06 1万+
正定函数 定义：若对域 Ω\OmegaΩ 中所有的非零向量 x\boldsymbol{x}x，恒有 V(x)>0V(\boldsymbol{x})>0V(x)>0，且在 x=0\boldsymbol{x}=0x=0 处有 V(0)=0V(0)=0V(0)=0，则称标量函数 V(x)V(\boldsymbol{x})V(x) 在域 Ω\OmegaΩ 内是正定的，V(x)V(\boldsymbol{x})V(x) 是正定的简记为 V(x)>0V(\boldsymbol{x})>0V
Lyapunov稳定性分析1（正定函数、二次型正定判定）
weixin_40857506的博客
07-01 9806
建立在**李雅普诺夫第二方法**上的稳定性分析中，有一类**标量函数**起着重要的作用，即为二次型函数；**塞尔维斯特（Sylvester）定理**： V(x)=xTPx中的P是对称阵时，V(x)为正定的充要条件是P的所有顺序主子式行列式都是正的，即.........
28_正定矩阵和最小值1
08-04
"正定矩阵和最小值" 正定矩阵是线性代数中的一种重要概念，判断一个矩阵是否为正定矩阵有多种方法。...通过讨论二次型函数的构造和图像表示，我们可以更好地理解正定矩阵的判定条件和极小值的概念。
详解正定/负定/不定矩阵
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weixin_50902344的博客
08-21 960
摘要：本文针对博弈论论文中多元函数极值求解时易忽视的海塞矩阵正定性问题展开讨论。通过顺序主子式判定法，结合Matlab代码演示，系统讲解了：（1）如何判断海塞矩阵正/负定性；（2）非正定矩阵对应的马鞍面函数特征；（3）论文中参数范围的设定逻辑。以Stackelberg模型为例，详细展示了利润函数极值求解、海塞矩阵计算及三维图像可视化过程，强调在学术写作中必须验证二阶条件，避免因矩阵不定性导致的结论失效。文中提供配套Matlab代码，帮助读者复现论文推导流程。
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多元二次函数极值的研究
02-09
在泰勒展开的基础上，作者们利用二次型的性质（正定性或负定性）以及矩阵的特征值、特征向量等线性代数知识，给出了极值存在与否的判定方法。在多元二次函数中，函数在某点取极值的一个充分必要条件是，该点的...
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高等代数——二次型.doc
01-14
高等代数中的二次型是线性代数的一个重要分支，主要研究二维或更高维度空间中二次函数的形式和性质。在本文件中，我们探讨了关于二次型的一些关键概念和问题。 1. **填空题** - 二次型通常表示为`f(x1, x2, ..., ...
正定矩阵、正定二次型与正定函数
强强的博客
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在最近学习的三门课程（最优化理论、线性系统、非线性系统）中，不时出现一个词——正定，有必要做一番剖析。 一、正定矩阵 1.1 正定矩阵定义与性质 正定（positive definite）直译肯定是正的。简单说，就是正数的扩展。先来看个小栗子， 首先看正定矩阵的定义与性质，定义为： 若矩阵 AAA 是n 阶方阵，对于任意非零向量 xxx，都有xTAx>0{x^T}Ax > 0xTAx>0，则矩阵 AAA 是正定矩阵。 正定矩阵有两条重要性质，也是常用的判断方法： 正定矩阵的所有特
矩阵论（五）：矩阵的正定性
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最近学习凸优化理论，最速下降方法中有个二次范数的概念，涉及到正定矩阵的种种性质，牛顿下降方法中的牛顿方向和收敛性证明也用到矩阵的正定性。对矩阵正定性的研究用特征值分解比较方便，正好前面的博客整理过特征值分解的内容，这篇博客就梳理一下矩阵正定性的常用知识~~ 线性代数基础知识（上） 线性代数基础知识（下） 广义逆矩阵 矩阵分解——从Schur分解、特征值分解到奇异值分解 矩阵的正定性及其性质 ...
线性共轭梯度法求解正定二次函数极小点以及线性方程组的解--MATLAB源程序
程序必须为人类阅读而编写，并且仅仅碰巧可以让机器执行
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本文基于线性共轭梯度算法，利用正定二次函数与线性方程组在数学形式上的等价性，通过线性方程组构建正定二次函数，再通过求解正定二次函数极小值的过程求解出线性方程组的解。 其中，本文提供了正定二次函数与线性方程组在数学形式上一直性的证明，并且给出了线性共轭梯度法求解正定二次函数极小值的MATLAB源程序。
正定二次函数的共轭梯度法matlab实现
篱落~~成殇~~
11-28 2633
正定二次函数的共轭梯度法matlab实现 1、算法过程 2、matlab实现 function [X,min_f]=minGRAD(fx,var,x0) %%%输入目标函数（正定二次函数）fx,变量var,初始点x0; %%%采用共轭梯度法计算目标函数的极小值； %%%输出极小值点X，极小值min_f. j=jacobian(fx,var); G=double(jacobian(j,var)); g0=(double(subs(j,var,x0)))'; d=-g0; x0=x0'; k=0; eps=
二次型、正定、半正定关系
泠山的博客
12-27 3016
从上面动图可看出，一个平面在圆锥体上运动，可以得到圆、椭圆、双曲线，这也是它们之间具有线性关系的来源（平面的运动是线性的、或者是仿射的）。根据赫尔维茨定理，正定的条件是 奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，仅在这个公式中，一阶顺序主子式为。根据赫尔维茨定理，正定的条件是各阶顺序主子式都为正，仅在这个公式中，一阶顺序主子式为。但到了《多变量微积分》的时候，二阶导数就是一个二次型矩阵，也就是下面说的。这个椭圆看起来有点歪，不太好处理，我们来把它扶正，这就叫做。
优化方法之正定二次函数的共轭梯度法及其实现（基于Python）
weixin_46325773的博客
06-12 2930
共轭梯度法也是共轭方向法中的一种，但是它减少了梯度方向的搜索量，它直接采取经过一维搜索最小点处的梯度方向作为我们的搜索方向，因而在计算速度上有了一定的提升。如果你对这些优化算法感到困惑，现在你需要明白共轭方向法是基于最速下降法的改进，因为最速下降法在接近最优值时的锯齿现象降低了迭代搜索的速度，共轭法则提升了最速下降法的速度。本节所讲的共轭梯度法则是共轭方向法的进一步改进，一个直观原因是它减少了方向的搜索。同时此算法需要同时计算当前点和下一点并据此得到一些新的中间变元。在你明白这个逻辑 后，请参考以下算法原理
正定二次型的概念及结论
djx18436034306的博客
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设一个二次型f(A)=xTAx，如果对任意x≠0，都有f(A)=xTAx>0，则称f为正定二次型若f为正定二次型，要想让f=0,当且仅当x=0，只要x≠0，f>0例：f=2x12+x22+3x32>=0。
对称矩阵及正定性
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xdfyoga1的专栏
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对称阵是非常重要的矩阵，对于实对称矩阵，其特征值也为实数，且特征向量是垂直的。注意这里的垂直是指：如果特征值互不相同，那么每个特征值对应的特征向量是在一条线上，那些线之间总是垂直的；如果特征值重复，那特征值就对应一整个平面的特征向量，这是因为 ，则 ，在那个平面上，我们总可以选到垂直的向量。比如对于单位阵，它是对称阵，单位阵只有一个特征值即为1，每个向量都是其特征向量，在这些特征向量组成的平面上，
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对于一个n×nn \times nn×n的对称矩阵AAA正定矩阵：如果对于任意非零向量x∈Rnx∈Rn，二次型xTAxx^T A xxTAxxTAx0∀x∈Rnx≠0xTAx0∀x∈Rnx0则称矩阵AAA是正定矩阵（positive definite matrix）。正半定矩阵：如果对于任意向量x∈Rnx∈Rn，二次型xTAxx^T A xxTAxxTAx≥。
二次型与坐标旋转下的标准形转化
这些概念在多元函数极值问题中极为关键：海森矩阵（Hessian Matrix）的正定性决定了函数在某点是否取得局部极小值。同样，在控制理论中，系统的李雅普诺夫函数常构造为正定二次型，以证明系统稳定性。 “齐次多项式...
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