桶中取黑白球

题目

有一个桶，里面有白球、黑球各100个，现在按下述规则取球：

1. 每次从桶里面拿出来两个球；

2. 如果是两个同色的球，就再放入一个黑球；

3. 如果是两个异色的球，就再放入一个白球。

问：最后桶里面只剩下一个黑球的概率是多少？

解题思路

根据条件2和3，可以类似地想到数学中的异或（XOR）：

两个相同的数，异或等于0；

两个不同的数，异或等于1。

由于当球不同时，就可以再放入一个黑球。那么我们只能把黑球赋值为0，白球赋值为1。

这样可以想象大桶中包含100个0和100个1。

每次取球可以抽象为，两个数字做一次异或操作，并将所得的结果（1或0）丢回桶中。这样每次操作过程都不会改变所有球的权值的异或值。

假设黑、白球各两个，参数为（2,2），操作过程如下：

1. 取出两个黑球，放回一个黑球。0 XOR 0 = 0，剩下的结果为（1,2）。

2. 取出一黑一白，放回一个白球。0 XOR 1 = 1，剩下的结果为（0,2）。

3. 最后只能取出两个白球。1 XOR 1 = 0，剩下的结果为（1,0）。

因为异或满足结合率，即（a XOR b）XOR c = a XOR（b XOR c），那么上面操作的顺序并不会影响到后面的结果。

可见，取球的过程相当于把里面所有的球进行异或操作，也就是说1 XOR 1 XOR 0 XOR 0 = 0。

因此，剩下一个球的时候，桶中的权值等于初始时刻所有球权值的异或值，也就是0。所以剩下一个球的时候，一定是黑球。

从上面的解法可以看出，对于复杂问题的分析，最有效的方法就是通过简单的例子进行分析归纳，然后根据实际归纳出的结论进行结果分析。而适当的数学抽象在解决为题的过程中往往有画龙点睛的作用。

扩展问题

1. 如果桶中球的个数为黑白各99个，那么结果会怎样？

根据前面的分析，可以通过对所有的数字进行异或运算来得到结果，最后异或运算的结果为1。也就是说，最后会剩下一个白球。

同样，我们可以很容易地发现，如果是每种球的个数为偶数，那么最后剩下的一定是黑球；如果球的个数是奇数，那么最后剩下的一定是白球。

2. 如果黑白球的数量不定，那么结果又会怎样？

事实上，我们不用太在乎球的数量，只需在乎异或运算的结果就行了。因此，对于球的数目任意的情况，同样只需看最后异或运算的值即可。

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