598.范围求和Ⅱ

598.范围求和Ⅱ

给定一个初始元素全部为 0,大小为 m*n 的矩阵 M 以及在 M 上的一系列更新操作。

操作用二维数组表示,其中的每个操作用一个含有两个正整数 a 和 b 的数组表示,含义是将所有符合 0 <= i < a 以及 0 <= j < b 的元素 M[i][j] 的值都增加 1。

在执行给定的一系列操作后,你需要返回矩阵中含有最大整数的元素个数。

示例 1:
输入:
m = 3, n = 3
operations = [[2,2],[3,3]]
输出: 4

解释:
初始状态, M =
[[0, 0, 0],
[0, 0, 0],
[0, 0, 0]]
执行完操作 [2,2] 后, M =
[[1, 1, 0],
[1, 1, 0],
[0, 0, 0]]
执行完操作 [3,3] 后, M =
[[2, 2, 1],
[2, 2, 1],
[1, 1, 1]]

M 中最大的整数是 2, 而且 M 中有4个值为2的元素。因此返回 4。

C++

class Solution {
public:
    int maxCount(int m, int n, vector<vector<int>>& ops) {
        int a=m,b=n;
        for(int i=0;i<ops.size();i++){
            a=min(a,ops[i][0]);
            b=min(b,ops[i][1]);
        }
        return a*b;
    }
};
<think>好的,我需要回答用户关于NSGA-II算法中拥挤度计算实现方法的问题。首先,我得回忆一下NSGA-II的基本原理。根据用户提供的引用内容,NSGA-II采用了快速非支配排序和拥挤度比较策略,其中拥挤度用于保持种群的多样性。 拥挤度的计算应该在非支配排序之后进行,每个前沿层中的个体需要计算其拥挤度。具体来说,对于同一非支配层中的个体,按照每个目标函数值进行排序,然后计算相邻个体在该目标上的差值,将这些差值累加得到每个个体的拥挤度。这样,拥挤度大的个体周围比较稀疏,有助于保持种群的分布性。 接下来,我需要确认具体步骤是否正确。例如,对于每个目标函数,是否需要对个体进行排序,然后计算边界个体的拥挤度设为无穷大,中间个体的拥挤度则是相邻个体的差之和。同时,不同目标的差值需要进行归一化处理,避免量纲影响。这些步骤在引用中没有详细说明,但根据常规的多目标优化算法实现,应该是这样的。 另外,用户提供的引用中提到拥挤比较算子替换了共享函数方法,这说明拥挤度计算是NSGA-II的一个关键改进点。引用[1]提到时间复杂度是O(MN²),其中M是目标数,N是种群大小,这可能与非支配排序和拥挤度计算有关。拥挤度计算的时间复杂度可能为O(MN log N),因为对每个目标排序需要O(N log N)时间,M个目标则总时间为O(MN log N),但整体算法的时间复杂度主要由非支配排序决定。 需要确保回答的结构清晰,分步骤说明实现方法,并引用提供的资料。例如,在解释拥挤度计算时,可以分点列出排序、计算差值、总和等步骤,并指出边界处理的方式。同时,应结合用户提供的引用,说明拥挤度在NSGA-II中的作用和优势,如保持多样性和避免早熟收敛。 最后,生成的相关问题需要与拥挤度计算相关,例如应用场景、与共享函数方法的区别、优化效果等,这有助于用户进一步理解该算法的其他方面。</think>NSGA-Ⅱ算法中拥挤度计算实现方法分步说明如下: ### 一、拥挤度计算目的 通过量化个体周围解的密度,维持种群多样性,避免早熟收敛。拥挤度高的个体周围分布稀疏,在环境选择时优先保留[^1]。 ### 二、实现步骤 1. **按目标函数排序** 对同一非支配层中的个体,**每个目标函数单独排序**。例如对目标函数$f_1$,将个体按$f_1$值升序排列,再对$f_2$执行同样操作。 2. **边界处理** 每个目标函数排序后的**首尾个体(极值点)**设置无限大拥挤度: $$I_{crowd}(1) = I_{crowd}(N) = +\infty$$ 确保极值点必然被保留[^3]。 3. **中间个体计算** 对非边界个体$i$,计算其在**每个目标函数维度上相邻解的归一化差值**: $$\Delta f_m = \frac{f_m(i+1) - f_m(i-1)}{f_m^{max} - f_m^{min}}$$ 其中$m$为目标函数索引,$f_m^{max}$和$f_m^{min}$为当前层的最大最小值。 4. **累计拥挤度** 将所有目标维度的差值求和: $$I_{crowd}(i) = \sum_{m=1}^{M} \Delta f_m$$ 该值反映个体周围的"空白区域"大小。 ### 三、应用场景 1. **环境选择阶段** 当需要从同一非支配层中选择解时,优先选择拥挤度大的个体,避免聚集。 2. **拥挤比较算子** 比较两个个体时,若非支配等级相同,则选择拥挤度更大的个体[^2]。 ```python # Python伪代码示例 def calculate_crowding_distance(front, objectives): size = len(front) distances = [0.0] * size for m in range(len(objectives)): # 按第m个目标函数排序 sorted_front = sorted(front, key=lambda x: x.objectives[m]) # 边界个体设为无穷大 distances[0] = float('inf') distances[-1] = float('inf') # 归一化范围 f_min = sorted_front[0].objectives[m] f_max = sorted_front[-1].objectives[m] scale = f_max - f_min if f_max != f_min else 1.0 # 计算中间个体拥挤度 for i in range(1, size-1): delta = (sorted_front[i+1].objectives[m] - sorted_front[i-1].objectives[m]) / scale distances[i] += delta return distances ``` ### 四、关键特性 1. **时间复杂度**:$O(MN \log N)$,其中$M$为目标数,$N$为种群规模[^1] 2. **无需参数**:相比共享函数方法,避免了小生境半径等参数设置问题 3. **适应高维**:但文献[^2]指出在高维多目标问题中效果会下降
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