L3-001 凑零钱

L3-001 凑零钱
韩梅梅喜欢满宇宙到处逛街。现在她逛到了一家火星店里,发现这家店有个特别的规矩:你可以用任何星球的硬币付钱,但是绝不找零,当然也不能欠债。韩梅梅手边有10^4^枚来自各个星球的硬币,需要请你帮她盘算一下,是否可能精确凑出要付的款额。

输入格式:

输入第一行给出两个正整数:N(<=10^4^)是硬币的总个数,M(<=10^2^)是韩梅梅要付的款额。第二行给出N枚硬币的正整数面值。数字间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出硬币的面值 V~1~ <= V~2~ <= … <= V~k~,满足条件 V~1~ + V~2~ + … + V~k~ = M。数字间以1个空格分隔,行首尾不得有多余空格。若解不唯一,则输出最小序列。若无解,则输出“No Solution”。

注:我们说序列{A[1], A[2], …}比{B[1], B[2], …}“小”,是指存在 k >= 1 使得 A[i]=B[i] 对所有 i < k 成立,并且 A[k] < B[k]。

输入样例1:

8 9
5 9 8 7 2 3 4 1
输出样例1:

1 3 5
输入样例2:

4 8
7 2 4 3
输出样例2:

No Solution

解题思路:
01背包问题,用choice标记是否选取,状态转移方程为dp[v]=max(dp[v],dp[v-c[i]]+c[i])
参考了一些博客,都是这种解法,但是第四个点会内存超限。

#include<cstdio> 
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
int dp[110],c[10010];
bool choice[10010][10010];
bool cmp(int a,int b){
    return a>b;
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&c[i]);
    sort(c+1,c+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=c[i];j--){
            if(dp[j]<=dp[j-c[i]]+c[i]){
                dp[j]=dp[j-c[i]]+c[i];
                choice[i][j]=true;
            }
        }
    }
    if(dp[m]!=m) printf("No Solution");
    else{
        vector<int>ans;
        int i=n,j=m;
        while(j>0){
            if(choice[i][j]==true){
                ans.push_back(c[i]) ;
                j-=c[i];
            }
            i--;
        }
        for(int i=0;i<ans.size() ;i++){
            if(i!=0) printf(" ");
            printf("%d",ans[i]);
        }
    }
    return 0;
}
### L3-001 零钱问题的 Python 解决方案 以下是基于动态规划方法实现的一个标准解法,用于解决零钱问题。此算法的核心在于通过构建一个数组 `dp` 来记录达到某个金额所需的最少硬币数量。 #### 动态规划核心逻辑 为了找到最小硬币组合的数量,可以定义状态转移方程如下: 设 `coins` 是可用的硬币面额列表,目标金额为 `amount`,则可以通过以下方式计算最优解: \[ dp[i] = \min(dp[i], dp[i - coin] + 1) \] 其中 \( dp[i] \) 表示组成金额 \( i \) 所需的最少硬币数[^2]。 下面是完整的 Python 实现代码: ```python def min_coins(coins, amount): # 初始化 dp 数组,大小为 amount+1 并填充为无穷大 dp = [float(&#39;inf&#39;)] * (amount + 1) # 当金额为 0 时,所需硬币数为 0 dp[0] = 0 # 遍历每一种可能的目标金额 for i in range(1, amount + 1): for coin in coins: if i >= coin and dp[i - coin] != float(&#39;inf&#39;): dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1) return dp[amount] if dp[amount] != float(&#39;inf&#39;) else -1 # 测试用例 if __name__ == "__main__": coins = list(map(int, input().split())) # 输入硬币种类 amount = int(input()) # 输入目标金额 result = min_coins(coins, amount) print(result) ``` 上述代码实现了动态规划的思想来求解最小硬币数目问题。如果无法恰好成指定金额,则返回 `-1` 表明无解。 #### 关键点解析 1. **初始化**:创建长度为 `amount + 1` 的数组并设置初始值为正无穷大 (`float(&#39;inf&#39;)`),表示尚未找到任何有效路径到达这些金额。 2. **边界条件处理**:当金额等于 0 时,不需要任何硬币即可满足需求,因此设定 `dp[0]=0`。 3. **双重循环更新 DP 值**:外层遍历所有可能的目标金额;内层尝试使用当前可选的所有硬币进行匹配,并不断优化已知的最佳结果。 4. **最终判断**:若经过全部迭代后仍未能降低至有限数值,则说明不存在合法解,应输出特殊标记(如这里采用的是 `-1`)。 #### 时间复杂度分析 该算法的时间复杂度主要取决于两重嵌套循环结构——即对于每一个金额都要逐一考察所有的硬币选项。假设共有 m 种不同类型的硬币以及最大金额为 n ,那么整体时间开销大致为 O(m × n)。 ---
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