如何推导欧拉公式e^iθ=cosθ+i*sinθ【转】

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于 2019-07-01 22:25:37 发布

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本文探讨了数学中最美的公式——欧拉公式，并解释了其背后的原理。通过将复数、圆周率、自然对数底数、零和一等基本数学元素巧妙结合，欧拉公式展现了数学的统一性和美感。文章还介绍了该公式如何通过麦克劳林级数和泰勒展开式推导出来。

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来自：https://blog.youkuaiyun.com/yesyes120/article/details/81156295

相信大多数人都知道大名鼎鼎的数学最美的公式： ${\color{Red} e^{i\pi }+1=0}$

为什么说它是最美的呢？因为它包含了指数里最基本的e，复数里最基本的 i ，圆频率最基本的 π，以及自然数里最基本的0和1。

本质上这个公式是由 ${\color{Red} e^{i\theta }=\cos\theta + i\sin \theta }$ 这个公式推导过来的，把θ换成π即可。

那么这个公式是如何得到的呢？可以使用高等数学里的幂级数展开，进而可以推导得出。

把 $e^{ix}$ 里的ix看成一个整体，根据麦克劳林展开式 $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{5}}{5!}+...$ ，把x换成ix代进去可以得到：

$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+\frac{(ix)^{4}}{4!}+\frac{(ix)^{5}}{5!}+\frac{(ix)^{6}}{6!}+...$

$=1+ix-\frac{x^{2}}{2!}-\frac{ix^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{ix^{5}}{5!}-\frac{x^{6}}{6!}+...$

我们把不含 i 的放一边，含 i 的放在另一边，则可以得到：

$e^{ix}=(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+...)+ i (x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-...)$

$=\cos x+i\sin x$

所以得证。

（补充，为什么 $e^{ix}$ 可以泰勒展开，这个需要证明，但此处忽略）

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