圆上任选三点组成三角形,这个三角形是锐角、钝角和直角三角形的概率分别是多少?
问题可以等价于:
任取三角形,圆心落在三角形内、外、边上的概率各是多少
这三种情况分别对应锐角、钝角、直角。
然后这就变成了三蓝一棕的一道题

在这样的情况下,可以变成:
任取P1、P2点的情况下,P3有多大的概率使得三角形包含圆心。

它给出了一个只需要用几何直觉的、数学表述上不严格的证明:
只有当P3落在浅蓝色、P1P2弧长与圆心的对称位置,才能使得圆心落入三角形。
因为对称弧长其实就是P1P2的弧长
所以问题最后变为:任取P1P2,其弧长期望值是多少?显然弧长不能长于半个周长,不能小于0
那么答案显然就是四分之一的圆周长,概率就是圆上任取一个点,落进这个区域的概率,四分之一
探讨了在圆上随机选取三点构成三角形时,该三角形为锐角、钝角和直角的概率问题。通过将问题转化为圆心落在三角形内、外、边上的概率分析,最终得出结论。
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