【51nod1815】调查任务（Tarjan+拓扑）

最新推荐文章于 2020-04-01 23:20:18 发布

chenxiaoran666

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分类专栏： 51nod 拓扑强连通分量缩点文章标签： Tarjan 拓扑

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利用Tarjan算法对图进行缩点，转化为树结构，再通过拓扑排序预处理每个节点的答案，寻找从首都S到城市i路径上两个不同城市x,y的最大a[x]%a[y]值。若无法到达城市i，则输出-1。关键在于理解最大值与次大值相模的最优解策略。" 80302009,7682188,MATLAB中实现卡尔曼滤波器：plot函数修正教程,"['MATLAB', '卡尔曼滤波器', '编程问题', '图形绘制', '教程']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

点此看题面

大致题意：有N个城市由M条单向道路（图不一定联通），每个城市有一个发达程度a[i]，要求你求出首都S到城市i的一条路径上的两个不同城市x,y的a[x]%a[y]的最大值（包括S和i），若无法到达输出-1。

首先，我们来考虑一个问题：若你已知若干个数，如何求出其中两个数相模后的最大值？

答案是显然的，用次大值（严格次大）去模最大值。

下面给出证明：

设这些数中的最大值为Max1，严格次大值为Max2，则

若一个数取Max1，另一个数取a（a<Max1），显然，此时模后得到的值为a。说明当a小于Max1时，a越大越好，则我们可证，当一个数取Max1时，只有另一个数取Max2时，才能使相模后得到的结果最大，且得到的结果是Max2。

如果不取Max1，假设我们取得两个数是x，y（x≤y），则它们相模后的结果一定小于y。又因为不能取Max1，所以y最大能取Max2，所以最终的结果一定小于Max2，显然没有一个数取Max1，一个数取Max2时得到的结果更优。

综上所述，当一个数取最大值，一个数取严格次大值时，两数相模的结果最大。

那么这道题的做法就比较清晰了：

首先用Tarjan对原图进行缩点，将原图变成一棵树。

然后对缩点后的图按照拓扑序扫一遍对每一个城市预处理出答案。

最后就是对每一个询问输出答案了。

比较重要的一点就是要注意x和y两个城市必须在同一条路径上，我就为此而WA了无数次。。。

代码见下：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 400000
#define M 2000000
using namespace std;
int n,m,Q,s,tot,sum,cnt,top,a[N+5],lnk[N+5],nlnk[N+5],max1[N+5],max2[N+5],max3[N+5],max4[N+5],low[N+5],dfn[N+5],pos[N+5],que[N+5],Stack[N+5],IN[N+5];
bool vis[N+5];
struct edge
{
	int to,nxt;
}e[M+5],ne[M+5];//e[]存储缩点前的边，ne[]存储缩点后的边 
void read(int &x)
{
	x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') (x*=10)+=ch-'0',ch=getchar();
}
void write(int x)
{
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
void add(int x,int y) 
{
	e[++cnt].to=y,e[cnt].nxt=lnk[x],lnk[x]=cnt;
}
void nadd(int x,int y) 
{
	ne[++cnt].to=y,ne[cnt].nxt=nlnk[x],nlnk[x]=cnt;
}
void Tarjan(int x)//用Tarjan将原图缩点，模板不解释 
{
	dfn[x]=low[x]=++tot,Stack[++top]=x,vis[x]=1;
	for(int i=lnk[x];i;i=e[i].nxt)
	if(!dfn[e[i].to]) Tarjan(e[i].to),low[x]=min(low[x],low[e[i].to]);
	else if(vis[e[i].to]) low[x]=min(low[x],dfn[e[i].to]);
	if(low[x]==dfn[x])
	{
		pos[x]=++sum,vis[x]=0,max1[sum]=a[x];
		while(Stack[top]!=x)
		{
			pos[Stack[top]]=sum,vis[Stack[top]]=0;
			if(a[Stack[top]]>max1[sum]) max2[sum]=max1[sum],max1[sum]=a[Stack[top]];//更新这个强连通分量中的最大值和次大值 
			else if(a[Stack[top]]!=max1[sum]&&a[Stack[top]]>max2[sum]) max2[sum]=a[Stack[top]]; 
			top--;
		} 
		top--;
	}
}
void topo_sort(int s)//按拓扑序预处理出答案 
{
	int H=0,T=1; 
	que[1]=s,vis[s]=1;
	while(H<T)
	{
		int x=que[++H];
		for(int i=nlnk[x];i;i=ne[i].nxt)
		{
			++IN[ne[i].to]; 
			if(vis[ne[i].to]) continue;
			vis[ne[i].to]=1,que[++T]=ne[i].to;
		}
	}
	H=0,T=1,que[1]=s;
	while(H<T)
	{
		int x=que[++H];
		for(int i=nlnk[x];i;i=ne[i].nxt)
		{ 
			//预处理出答案 
			max2[ne[i].to]=max(max2[ne[i].to],max2[x]);
            if(max1[ne[i].to]!=max3[x]) max2[ne[i].to]=max(max2[ne[i].to],min(max1[ne[i].to],max3[x]));
            else max2[ne[i].to]=max(max2[ne[i].to],max4[x]);
            if(max3[x]>max3[ne[i].to]) max4[ne[i].to]=max3[ne[i].to],max3[ne[i].to]=max3[x];
            else if(max3[ne[i].to]>max3[x]&&max3[x]>max4[ne[i].to]) max4[ne[i].to]=max3[x];
            if(max4[x]>max3[ne[i].to]) max4[ne[i].to]=max3[ne[i].to],max3[ne[i].to]=max4[ne[i].to];
            else if(max3[ne[i].to]>max4[x]&&max4[x]>max4[ne[i].to]) max4[ne[i].to]=max4[x];
			if(!(--IN[ne[i].to])) que[++T]=ne[i].to;
		}
	}
}
int main()
{
	read(n),read(m),read(Q),read(s);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
	for(int i=1,x,y;i<=m;i++) 
		read(x),read(y),add(x,y);
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		if(!dfn[i]) Tarjan(i);//Tarjan缩点 
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		for(int j=lnk[i];j;j=e[j].nxt) 
			if(pos[i]!=pos[e[j].to]) nadd(pos[i],pos[e[j].to]);//处理出缩点之后的图 
	memcpy(max3,max1,sizeof(max3)),memcpy(max4,max2,sizeof(max4)),topo_sort(pos[s]);//预处理答案 
	while(Q--) 
	{
		int x;read(x);
		if(!vis[pos[x]]) printf("-1 ");//判断与s是否联通，不连通输出-1 
		else write(max2[pos[x]]),putchar(' ');//若联通输出答案 
	}
	return 0;
}