最小M段和 O(nlogn)快速算法

先声明，这算法我还没弄出来

 

 

 

《数列分割》解题报告

［题目描述］

给出一个长为N的整数数列（N≤15000），要求求出最小的M，使得存在一种将数列分成恰好K份的方案（每份是数列上连续的一段，且不得为空），每份的数字之和不大于M。

题目来源：Viet Nam Olympiad in Informatic 2005, Day I

［算法分析］

此题又是典型的“要求最大值尽量小”的形式，对于这样的问题，往往可以使用基于二分的算法解决。对于此题，则是二分枚举M的值，再判断对于这个M是否存在划分方案并缩小范围。

此题的难度在于，数列中可能存在负数，那么当数列的一个前缀的数字和已经大于M时，更后面的前缀和仍然有可能小于M（因为负数）。另外，对于一个特定的M，如果数列存在划分为K-1份的方案，并不一定存在划分为K份的方案，例如数列 -1 -1 -2，对于M＝-2，存在划分为2份的方案，却不存在划分为3份的方案。这样，一些常用的简单算法将不再适用。

在找不到有效算法时，先来看看朴素的算法。对于“是否存在一种恰好K份的划分方案，使得每一份的数字和不大于M”这一问题，很容易设计出这样一个动态规划算法：

令S[i]表示原数列前i个数构成的子序列，Sum[i]表示S[i]中所有数字之和。定义f[i][j]表示是否存在将S[i]划分为恰好j份的方案，其中每一份的数字之和不大于M，f[i][j]都为true或false。

对于j＝0，f[i][j]当且仅当i＝0时为true，其余为false。

对于i＝0，f[i][j]当且仅当j＝0时为true，其余为false。

对于j>0且i>0，f[i][j]＝f[i₁][j-1] or f[i₂][j-1] or … or f[i_l][j-1]，i_x是所有在［0，i-1］范围内且满足Sum[i]-Sum[i_x]≤M的整数。

这个算法的时间复杂度高达O（N³），对于本题数据范围无法承受。但是容易发现，这个模型中状态形式简单（布尔类型），转移方程也比较特殊，可能会存在一些内在的规律。那么现在我们来深入研究这个动态规划模型。

转移方程的第一个特殊之处在于，对于同样的i不同的j，方程中的i₁…i_l的值都是相同的

 

正在处理的是i＝7一行，对于这一行中的每个格子（状态），它的值由前面行中和它同色格子的值进行or运算得到，由于转移方程的特殊形式，就成了上图那样的形态。如果将每一行看成一个布尔向量，那么计算第i行实际上就是先找出i₁…i_l，再将这l个向量相加（此处是or运算），并向右位移一位，最高位舍弃（实际上一定为false），最低位补0，就得到了第i个向量。

不过这一认识暂时不能帮助降低算法的时间复杂度，还需要更多的东西。回到转移方程中，观察i₁…i_l这个集合，它看似是散乱的，其实不然，它是i_x<i且Sum[i]-Sum[i_x]≤M的集合，即Sum[i]-M≤Sum[i_x]，如果将0～i-1行按照Sum值从大到小排序，那么i₁…i_l对应的实际上就是前l行

 

那么进行到第i行时，可以在0～i-1行使用二分查找找出转移所涉及的行，将他们or起来、右位移得到第i行的结果，再将第i行插入到合适的位置，保持0～i行按Sum降序排列。

上面的描述涉及的操作有：二分查找一个位置、将元素（布尔向量）插入到某个空的位置、求某个位置前所有向量or起来的值。这是典型的可以使用离散化＋树状数组解决的问题，但是，由于操作的元素是向量，基本操作就有O（N）的代价，导致算法的时间复杂度为O（N² log N），空间复杂度为O（N²），对于本题的数据范围无法承受。

回到前面的算法分析，对于第i行，它的值是通过前面连续的l行or起来再进行一次位移得到的，如果将得到的值和前面l行再or起来，相当于把一个向量右位移一个单位再和自己or起来，给人直观的感觉是，向量里的true不会变得更“零散”，而有可能变得更“连续”，特别地，如果这个向量里的true本来就是连续的一段，右位移再or的结果仍然是连续的。另外，第一行是连续的（只有1个true），这启发我们可以使用数学归纳法来得到一些东西。稍作分析就能得到，在算法进行的任意时刻，任意一个向量里的true都是连续的，且按Sum值倒排后前任意多个连续向量or起来的结果里的true也是连续的。

有了这个结论，我们就可以使用一个整数对来描述一个向量：（X，Y）表示向量中从X到Y这一段为true。or运算和位移运算都可以简单地实现：

（X1，Y1）or（X2，Y2）＝（min（X1，X2），max（Y1，Y2））

（X，Y）>>1＝（X＋1，Y＋1）

将这样的表示法用到前一个算法中，就得到了时间复杂度O（N log N）、空间复杂度O（N）的可行算法。

［总结］

本题具有这样低复杂度的算法的关键原因在于，每个向量里的true都是连续的，跳出上文的语境，就得到了一个数学命题：

要求将一个数列划分为每份数字之和不大于M的若干份，如果同时存在划分为A份和B份的方案，那么也存在划分为［A，B］中的每一个份数的方案。

上文实际上证明了这个结论，但是通过了朴素的动态规划算法搭桥。惭愧的是我并没有找到使用纯数学工具进行证明的方法，希望各位大牛不吝赐教。

 

 

 

 

感谢xqz提供的程序

{$inline on} program xqz; const maxn=20005; oo=1 shl 30; var i,j,k,m,n,ll,rr,mid,t,k1,k2:longint; a,s,c1,c2,f,g:array[0..maxn] of longint; procedure sort(ll,rr:longint); var i,j:longint; begin i:=ll; j:=rr; t:=a[random(rr-ll+1)+ll]; while i<=j do begin while a[i]>t do inc(i); while a[j]<t do dec(j); if i<=j then begin k:=a[i]; a[i]:=a[j]; a[j]:=k; inc(i); dec(j); end; end; if j>ll then sort(ll,j); if i<rr then sort(i,rr); end; function get(x:longint):longint; inline; var ll,rr,mid:longint; begin ll:=0; rr:=n+1; while ll<rr do begin mid:=(ll+rr+1) shr 1; if a[mid]>=x then ll:=mid else rr:=mid-1; end; get:=ll; end; procedure find(i:longint); begin while i>0 do begin if c1[i]<k1 then k1:=c1[i]; if c2[i]>k2 then k2:=c2[i]; i:=i-i and(-i); end; end; procedure add(i,k:longint); begin while i<=n+1 do begin if f[k]<c1[i] then c1[i]:=f[k]; if g[k]>c2[i] then c2[i]:=g[k]; i:=i+i and(-i); end; end; begin assign(input,'candy.in'); reset(input); assign(output,'candy.out'); rewrite(output); read(n,m); for i:=1 to n do begin read(s[i]); if s[i]>0 then rr:=rr+s[i] else ll:=ll+s[i]; s[i]:=s[i-1]+s[i]; a[i]:=s[i]; end; a[n+1]:=0; sort(1,n+1); a[0]:=oo; while ll<rr do begin mid:=ll+rr; if odd(mid) then mid:=trunc(mid/2)-ord(mid<0) else mid:=mid div 2; fillchar(c1,sizeof(c1),122); fillchar(c2,sizeof(c2),$ff); add(get(0),0); for i:=1 to n do begin k1:=oo; k2:=-1; find(get(s[i]-mid)); if k1<oo then inc(k1); if k2>-1 then inc(k2); f[i]:=k1; g[i]:=k2; add(get(s[i]),i); end; if (f[n]<=m)and(g[n]>=m) then rr:=mid else ll:=mid+1; end; writeln(ll); close(input); close(output); end.  

 

 

 

马上我就自己打一边然后发出来，不会让大家看这么丑的程序的......