【求解AX=b】

原创 已于 2022-07-19 17:01:08 修改 · 539 阅读 · 0 ·
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#线性代数 #机器学习 #算法

于 2022-07-19 10:31:14 首次发布

可解性

我们还是以上一节的矩阵AAA为例：

A=[1222246836810][x1x2x3x4]=[b1b2b3]A=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad2\quad2\\ 2\quad4\quad6\quad8\\ 3\quad6\quad8\quad10\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{array} } \right]= \left[ {\begin{array}{cc} b_1\\b_2\\b_3\end{array} } \right]A=⎣ ⎡​1222246836810​⎦ ⎤​⎣ ⎡​x1​x2​x3​x4​​⎦ ⎤​=⎣

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OpenCV 和 Eigen求解线性方程 Ax=B
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#include <iostream> #include <Eigen/Core> #include <Eigen/Eigen> #include <Eigen/Geometry> #include<opencv2/opencv.hpp> int test_opencv() { printf("\nSolve equation:AX=b\n\n"); cv::Mat A = (cv::Mat_<float>(4,.
包括最小二乘法的Ax=b四种解法
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最小二乘法本质上是最小化观测值和预测值的差异的平方和。通过求导可以得到使得上面公式取得最小值的。通过求导在导数等于0处可获得,最小二乘法就是最小化这个东西。
22_OpenCV中求解方程的一系列cv::solve...()函数
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求解Ax=b
I Want Fly的专栏
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详细介绍Ax=b的解形式
6求解Ax=b：可解性和解的结构
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第八课时：求解Ax=b：可解性和解的结构 本课时的目标是Ax=b，可能有解，也可能无解，需要通过需要消元才知道，有解的话是唯一解还是很多解。 1.Ax=b 首先，继续上次课的例子： 通过以上推导可以看到，如果方程组有解，必须满足b3=b1+b2b3=b1+b2b_{3}=b_{1}+b_{2}。消元告诉我们，这是必须的。换句话说，左侧行的线性组合得到0，那么右侧常量线性组合也比...
8.【线性代数】——求解Ax=b
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02-19 1886
求Ax=b，讨论A的秩不同情况下的，解空间
Matlab 求解线性方程组 Ax=b 的几种常见方法
03-24
### Matlab求解线性方程组Ax=b的几种常见方法 在数学和工程领域中，求解线性方程组是常见的任务之一。线性方程组的形式通常为Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是已知常数向量。在实际应用中，经常会遇到...
共轭梯度法（极小化）求解Ax=b方程组MATLAB源码
10-25
该文件以三阶实对称正定系数矩阵A为例，实现了共轭梯度法（极小化方法）求解Ax=b。可扩展到任意维数。 【注】：资源购买后，如果发现中文注释乱码，请第一时间私信我解决。
cgm(A,b):使用共轭梯度法求解 Ax=b。-matlab开发
05-29
共轭梯度法（Conjugate Gradient Method，CGM）是一种高效解决线性方程组 Ax=b 的数值方法，尤其适用于大型对称正定矩阵 A。这种方法由Richard H. Byrd、Daniel W.unch和John H. Forsythe等人在20世纪50年代提出，它...
Jacobi迭代法求解Ax=b方程组数值解MATLAB源代码
10-22
该MATLAB文件，主要以三阶方程组为例，借助Jacobi迭代法实现了方程组的数值解求解。可以扩展到任意阶数。 【注】若因编辑器的编码问题导致中文注释乱码，请在购买后私信我解决。
矩阵分析：求解Ax=b
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b=0时，为齐次线性方程组。R（A）=n时，即A的行列式D不为0，有唯一零解；R(A)&lt;n时，即D=0，无穷多解。 b不为0，非齐次线性方程组，R(A）=R(B)增广矩阵时，方程有解，否则方程无解。R(A)=R(B)=n，有唯一零解；R(A)=R(B)&lt;n，无穷解。 求解Ax=b：可解性和解的结构 对于求解Ax=b，首先我们要判断： 　① 是否有解？ 　② 若有解，解是否唯一...
如何解Ax = b的方程
guojian1975的专栏
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针对Ax = b有如下问题： （1）该线性方程组是否有解？ （2）如果有解，那么解的结构是怎样的？ 对于Ax = b，其中矩阵A如下： A =  [ 1   2   2   2 ]      [ 2   4   6   8 ]      [ 3   6   8   10] 向量x如下： x = ( x1 )     ( x2 )     ( x3 )     ( x4 )
08-求解Ax=b：可解性和解的结构
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一、增广矩阵 　假设我们要求解方程$Ax=b$，其中矩阵$A$和$b$如下所示： $A = \left[\begin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} \\ {2} & {4} & {6} & {8} \\ {3} & {6} & {8} & {10}\end{array}\ri...
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上一篇博客讨论了Ax=0的情况， 现在来看看Ax=b是怎样的假设A=， 那么如果A组成的方程组有解， b应该满足什么条件? 我们把b放到A矩阵后面去（得到A的增广矩阵）， 然后化成阶梯型得到这个矩阵， 从这个矩阵很容易看出， 只有当b3=b2+b1时， 才有解。如果b有解， 哪么b应该是在A的空间之内也就是说b应该是A的线性组合。 从A矩阵可以看出 行三 = 行一 + 行二， 所以b应该也是这样。
【SLAM学习】证明线性方程Ax=b，系数矩阵超定时的最小二乘解
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最近在看高博的《视觉SLAM十四讲》，到第六章非线性优化时，习题要求进行证明，因为自己的数学基础也不是很好，看了一些参考写出证明过程如下，希望留作以后忘了可以翻阅的证明。 写的应该还是蛮清楚的，如果有问题欢迎大家留言！ ...
线性代数笔记8--AX=b:可解性、解的结构
bdn_nbd的博客
03-05 3739
AX=b的可解性以及解的结构
用cvSolve求矩阵方程AX=b的解
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使用Eigen库求解Ax=b（高斯消元法，Cholesky，QR分解）
weixin_63669609的博客
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Eigen（http://eigen.tuxfamily.org）是常⽤的 C++ 矩阵运算库，具有很⾼的运算效率。⼤部分需要在 C++ 中使⽤矩阵运算的库，都会选⽤ Eigen 作为基本代数库，例如 Google Tensorflow， Google，Ceres， GTSAM 等。本次习题，你需要使⽤ Eigen 库，编写程序，求解⼀个线性⽅程组。为此，你需要先了解⼀些有关线性⽅程组数值解法的原理。
线性求解器Ax=b的验证
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Matrix Market 网站使用介绍
奇异值分解求解Ax=b matlab
最新发布
06-05
### 使用奇异值分解(SVD)求解线性方程组 Ax=b 在 MATLAB 中，可以通过奇异值分解（SVD）来求解线性方程组 \(Ax = b\)。奇异值分解是一种强大的矩阵分解方法，尤其适用于病态系统或需要最小二乘解的问题。以下是具体实现过程和相关说明。 #### 理论基础 奇异值分解将矩阵 \(A\) 分解为三个矩阵的乘积： \[ A_{m \times n} = U_{m \times m} S_{m \times n} V_{n \times n}^T \] 其中： - \(U\) 是一个 \(m \times m\) 的正交矩阵。 - \(S\) 是一个 \(m \times n\) 的对角矩阵，其对角元素为 \(A\) 的奇异值。 - \(V\) 是一个 \(n \times n\) 的正交矩阵[^2]。 对于非齐次线性方程组 \(Ax = b\)，可以通过以下步骤求解： 1. **分解矩阵 \(A\)**：使用 `svd` 函数对矩阵 \(A\) 进行奇异值分解。 2. **构造伪逆**：基于奇异值分解结果，构造矩阵 \(A\) 的伪逆 \(A^+\)。 3. **求解 \(x\)**：利用伪逆计算 \(x = A^+b\)。 #### MATLAB 实现代码 以下是一个完整的 MATLAB 实现示例： ```matlab % 定义矩阵 A 和向量 b A = [1 2; 3 4; 5 6]; % 示例矩阵 A (m x n) b = [1; 2; 3]; % 示例向量 b (m x 1) % 对矩阵 A 进行奇异值分解 [U, S, V] = svd(A); % 构造伪逆矩阵 A+ tolerance = max(size(A)) * S(1,1) * eps; % 设置奇异值阈值 S_pseudo = diag(1 ./ diag(S)); % 计算 S 的伪逆 S_pseudo(abs(diag(S)) < tolerance) = 0; % 忽略接近零的奇异值 A_pseudo = V * S_pseudo' * U'; % 计算 A 的伪逆 % 求解线性方程组 x = A_pseudo * b; % 输出结果 disp('解向量 x:'); disp(x); ``` #### 注意事项 1. **病态系统的处理**：如果矩阵 \(A\) 接近奇异或病态，某些奇异值可能非常小。这些小奇异值会导致数值不稳定。因此，在构造伪逆时，通常会忽略小于某个阈值的奇异值[^5]。 2. **最小二乘解**：当 \(A\) 的列数少于行数（即 \(n < m\)），\(Ax = b\) 可能没有精确解。此时，SVD 方法会给出最小二乘解。 3. **MATLAB 内置函数**：MATLAB 提供了内置函数 `pinv` 来直接计算矩阵的伪逆。可以简化上述代码为： ```matlab x = pinv(A) * b; ``` #### 示例结果 假设输入矩阵 \(A\) 和向量 \(b\) 如下： \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \] 运行上述代码后，输出的解向量 \(x\) 将是满足最小二乘条件的最佳近似解。 --- ###
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